Elliptic Curve Cryptography
Unter {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Vorlage:lang:103: attempt to index field 'wikibase' (a nil value) oder {{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value) (ECC) versteht man asymmetrische Kryptosysteme, die Operationen auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern verwenden. Diese Verfahren sind nur sicher, wenn diskrete Logarithmen in der Gruppe der Punkte der elliptischen Kurve nicht effizient berechnet werden können.
Jedes Verfahren, das auf dem diskreten Logarithmus in endlichen Körpern basiert, wie z. B. der Digital Signature Algorithm, das Elgamal-Verschlüsselungsverfahren oder der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, lässt sich in einfacher Weise auf elliptische Kurven übertragen und somit zu einem Elliptic-Curve-Kryptosystem umformen. Dabei werden die beim Originalverfahren eingesetzten Operationen (Multiplikation und Potenzieren) auf dem endlichen Körper ersetzt durch entsprechende Operationen (Punktaddition und Skalarmultiplikation) der Punkte auf der elliptischen Kurve. Das <math>n</math>-fache Addieren eines Punktes <math>P</math> zu sich selbst (also die Multiplikation mit dem Skalar <math>n</math>) wird mit <math>n P</math> bezeichnet und entspricht einer Potenz <math>x^n</math> im ursprünglichen Verfahren.
Das Prinzip wurde Mitte der 1980er Jahre von Victor S. Miller<ref name="Miller" /> und Neal Koblitz<ref name="Koblitz" /> unabhängig voneinander vorgeschlagen.
Funktionsprinzip
Auf elliptischen Kurven kann eine additive zyklische Gruppe definiert werden, die aus den Vielfachen eines Punktes auf der Kurve, des Erzeugers der Gruppe, besteht. Das Addieren zweier Punkte in der Gruppe ist einfach, es gibt aber Kurven, auf denen die „skalare Division“ für einen Punkt <math>A</math> schwer ist, d. h., es ist kein effizientes Verfahren bekannt, um zu dem gegebenen Punkt <math>A</math> in einer von einem Punkt <math>P</math> erzeugten Gruppe eine natürliche Zahl <math>a</math> mit <math>aP = A</math> zu finden. Damit gibt es auf diesen Kurven ein Analogon zum Diskreten Logarithmus-Problem (DLP) in multiplikativen Gruppen, das ebenfalls DLP genannt wird.
Analog kann man das Computational-Diffie-Hellman-Problem (CDH, zu gegebenen <math>aP</math> und <math>bP</math> berechne <math>abP</math>) und das Decisional-Diffie-Hellman-Problem (DDH) definieren. Dadurch können kryptographische Verfahren, deren Sicherheit auf diesen Problemen beruht, auf elliptische Kurven übertragen werden, für die diese Probleme vermutlich schwierig sind. Beispiele dafür sind
- Elliptic Curve Diffie-Hellman (ECDH)
- Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme (ECIES), auch Integrated Encryption Scheme (IES) genannt
- Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
- ECMQV, ein von Menezes, Qu und Vanstone vorgeschlagenes Protokoll zur Schlüsselvereinbarung
Darüber hinaus gibt es Kurven <math>E</math>, auf denen eine Pairing genannte bilineare Abbildung <math>e\colon E \times E \to G</math> in eine Gruppe <math>G</math> existiert. In diesen Kurven ist zwar DDH leicht, da <math>e(aP, bP) = e(P, abP)</math> gilt, die Existenz des Pairings erlaubt aber viele neuartige Anwendungen.
Effizienz und Sicherheit
Da das Problem des diskreten Logarithmus in elliptischen Kurven (ECDLP) deutlich schwerer ist als die Berechnung des diskreten Logarithmus in endlichen Körpern oder die Faktorisierung ganzer Zahlen, kommen Kryptosysteme, die auf elliptischen Kurven beruhen – bei vergleichbarer Sicherheit – mit erheblich kürzeren Schlüsseln aus als die herkömmlichen asymmetrischen Kryptoverfahren, wie z. B. das RSA-Kryptosystem oder der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch. Die derzeit schnellsten Algorithmen sind der Babystep-Giantstep-Algorithmus und die Pollard-Rho-Methode, deren Laufzeit bei <math>\mathcal{O}(2^{n/2})</math> liegt, wobei <math>n</math> die Bitlänge der Größe des zugrundeliegenden Körpers ist. Nach heutigem Kenntnisstand wird z. B. mit einer Schlüssellänge von 160 Bit eine ähnliche Sicherheit erreicht wie bei RSA mit 1024 Bit.<ref name="keylength_com">Cryptographic Key Length Recommendation. BlueKrypt, abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref> ECC eignet sich daher besonders dann, wenn die Speicher- oder Rechenkapazität begrenzt ist, z. B. in Smartcards oder anderen eingebetteten Systemen.
Beispielhaft werden hier die vom US-amerikanischen National Institute of Standards and Technology (NIST) und ECRYPT angegebenen äquivalenten Schlüssellängen für RSA- bzw. Diffie-Hellman-Schlüssel für bestimmte Sicherheitsniveaus aufgelistet.
| Sicherheitsniveau | RSA/DH (NIST) | RSA/DH (ECRYPT) | ECDH |
|---|---|---|---|
| 80 | 1024 | 1248 | 160 |
| 112 | 2048 | 2432 | 224 |
| 128 | 3072 | 3248 | 256 |
| 192 | 7680 | 7936 | 384 |
| 256 | 15360 | 15424 | 512<ref>NIST hat nur eine 521-bit Kurve standardisiert und gibt daher als äquivalentes Sicherheitsniveau 521 bit an.</ref> |
| Sicherheitsniveau (bit) | Verhältnis bei DH: ECDH |
|---|---|
| 80 | 3:1 |
| 112 | 6:1 |
| 128 | 10:1 |
| 192 | 32:1 |
| 256 | 64:1 |
Die Spalte Sicherheitsniveau bezieht sich auf die Bitlänge eines vergleichbar sicheren symmetrischen Verschlüsselungsalgorithmus.
Die mathematischen Operationen auf elliptischen Kurven sind aufwändiger zu berechnen als Operationen in vergleichbar großen endlichen Körpern oder RSA-Modulen. Allerdings kann mit erheblich kürzeren Schlüsseln ein Sicherheitsniveau erreicht werden, das mit Verfahren auf Basis des diskreten Logarithmus oder mit RSA vergleichbar ist. Unter anderem durch die kürzeren Schlüssel können Elliptische-Kurven-Kryptosysteme daher bei einem vergleichbaren Sicherheitsniveau schneller sein.<ref>R. Szerwinski, T. Güneysu: Exploiting the Power of GPUs for Asymmetric Cryptography. Proceedings of CHES 2008, pp. 79–99, 2008</ref> Ein Vergleich der Recheneffizienz dieser kryptographischen Verfahren hängt jedoch stark von den Details der Implementierung (kryptographische Parameter, Arithmetik, Optimierungen, Programmiersprache und Compiler, zugrunde liegende Hardware) ab.
Seitenkanalangriffe
Im Mai 2011 veröffentlichten die Forscher Billy Bob Brumley und Nicola Tuveri eine wissenschaftliche Arbeit,<ref name="timingattackpaper">Billy Bob Brumley, Nicola Tuveri: Remote Timing Attacks are Still Practical. In: Cryptology ePrint Archive: Report 2011/232. 11. Mai 2011, abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value), Abruf als PDF möglich).</ref> in welcher sie einen erfolgreichen Timing-Angriff auf ECDSA beschreiben.<ref name="heise_timingangriffe">Erfolgreiche Timing-Angriffe auf Verschlüsselung mit elliptischen Kurven. heise.de, 23. Mai 2011, abgerufen am 3. November 2011.</ref> Dabei setzten die Forscher einen Server mit OpenSSL auf. Der Angriff erfolgte über die Tatsache, dass das Ver- und Entschlüsseln mit unterschiedlichen ECDSA-Schlüsseln in der Implementierung von OpenSSL (Versionen 0.9.8o und 1.0.0.a) unterschiedlich viel Zeit in Anspruch nimmt. So konnten Brumley und Tuveri ohne Zugriff auf den Server den privaten Schlüssel berechnen. Eine Implementierung mit randomisierten Parametern oder eine geeignete Wahl der Kurvenparameter erlaubt jedoch Operationen mit konstantem Zeitbedarf.<ref name="safecurves.cr.yp.to">SafeCurves: choosing safe curves for elliptic-curve cryptography. Abgerufen am 7. Juni 2016 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref>
Verwendung
Elliptic Curve Cryptography wird von modernen Windows-Betriebssystemen (ab Vista) unterstützt.<ref name="asit_eccToday">Elisabeth Oswald: Kryptosysteme basierend auf Elliptischen Kurven Einsatz und Verbreitung in Standardsoftware. (PDF; 445 kB) Zentrum für sichere Informationstechnologie - Austria (A-SIT), 29. Juli 2009, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 5. März 2014; abgerufen am 2. November 2011. Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.</ref>
Produkte der Mozilla Foundation (u. a. Firefox, Thunderbird) unterstützen ECC mit mindestens 256 Bit Key-Länge (P-256 aufwärts).<ref name="mozilla_root_cas">Mozilla CA Certificate Maintenance Policy (Version 2.0). mozilla.org, 4. November 2011, abgerufen am 4. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). “{{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value)”</ref>
Die in Österreich gängigen Bürgerkarten (e-card, Bankomat- oder a-sign Premium Karte) verwenden ECC seit ihrer Einführung 2004/2005, womit Österreich zu den Vorreitern in deren breitem Einsatz zählt.<ref name="asit_ecc_curves">Elliptische Kurven. Archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 5. Dezember 2011; abgerufen am 3. November 2011. Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.</ref>
Die Reisepässe der meisten Europäischen Staaten (u. a. Deutschland) verwenden ECC zumindest für den Schutz des Zugriffs auf den Chip mittels Extended Access Control, einige Länder (u. a. Deutschland und Schweiz) verwenden es auch, um die auf dem Chip gespeicherten Daten mit Passive Authentication zu schützen.<ref name="buslab_zdenek_riha">Zdeněk Říha: Electronic passports. (PDF) JRC Ispra, European Commission, Masaryk University, Brno, 13. September 2008, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 15. Februar 2010; abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)).</ref>
In Deutschland verwendet der neue Personalausweis ebenfalls ECC, sowohl für Extended Access Control als auch für Passive Authentication.<ref name="bsi_fuer_buerger_pdf_locher">Manfred Lochter, Johannes Merkle: Ein neuer Standard für elliptische Kurven. (PDF; 796 kB) Mai 2009, archiviert vom Vorlage:IconExternal am 14. Januar 2018; abgerufen am 14. Januar 2018 (Vortrag auf dem 11. Deutschen IT-Sicherheitskongress 2009).</ref>
Sony benutzt Elliptic Curve DSA zur digitalen Signierung von Software für die PlayStation 3. Im Jahr 2010 gelang einer Hackergruppe die Ermittlung des benutzten Private Key und somit ein fast vollständiger Bruch der Sicherheitssysteme. Dies war jedoch vor allem auf Implementierungsfehler von Sony zurückzuführen und nutzte keine Sicherheitslücken im verwendeten ECC-Verfahren aus.<ref>27C3: Sicherheitssystem der Playstation 3 ausgehebelt. heise.de, 30. Dezember 2010, abgerufen am 5. November 2011.</ref>
Patente
Laut der US-amerikanischen National Security Agency (NSA) sind Implementierungen mit Patentproblemen konfrontiert. Vor allem die kanadische Certicom Inc. besitzt demnach mehr als 130 Patente, die für ECC oder Public-Key-Kryptographie benötigt werden. 26 davon wurden von der NSA lizenziert, um ECC-Verfahren zu Zwecken nationaler Sicherheit zu implementieren.<ref name="nsa-ellipticcurves" />
In einer Studie des Zentrums für sichere Informationstechnologie Austria (A-SIT) wird auf Patente in effizienten Implementierungen hingewiesen, wobei ECC selbst „prinzipiell patentfrei“ sei.<ref name="asit_ElliptischeKurven_und_Signatur_Studie">Elisabeth Oswald: Einsatz und Bedeutung Elliptischer Kurven für die elektronische Signatur. (PDF; 443 kB) A-SIT, 2001, S. 27, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 3. Februar 2014; abgerufen am 2. November 2011. Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.</ref>
RFC 6090<ref>Vorlage:RFC-Internet</ref> beschreibt grundlegende ECC-Algorithmen, die bereits 1994 oder vorher veröffentlicht wurden (und daher heute keinen Patenten mehr unterliegen können). Die im Internet heute weit verbreiteten ECC-Verfahren basieren auf diesen Algorithmen, so dass sie sich nach Veröffentlichung von RFC 6090 recht unproblematisch durchsetzen konnten.
Standardisierungsgremien und Normen
ANSI
ANSI X9.62-2005 ist die aktuelle Standardisierung des ECDSA.<ref>ANSI X9.62-2005, Public Key Cryptography for the Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)</ref>
- ANSI X9.62 (ECDSA)
- ANSI X9.63 (Key Agreement und Key Transport)
Die Kurven von X9.62-2005 wurden vom Geheimdienst NSA entworfen und eine Hintertür kann aufgrund der Freiheitsgrade in der Kurvenauswahlmethode nicht ausgeschlossen werden.<ref name="bada55-20150927.pdf">bada55.cr.yp.to (PDF)</ref> Nach einer Analyse von Dan Bernstein ist der Beweis für die Zufälligkeit der Kurven, den die Kurvenauswahlmethode nach der Behauptung des Standards darstellt, schlichtweg nicht existent.<ref name="rigid.html">safecurves.cr.yp.to</ref><ref name="bada55-20150927.pdf" />
NIST
- FIPS 186-5<ref name="fips_186_5">Digital Signature Standard (DSS). (PDF; 1,2 MB) FIPS PUB 186-5. National Institute of Standards and Technology (NIST), Februar 2023, abgerufen am 3. Oktober 2023 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). (ECDSA).</ref>
Die NIST-Kurven wurden vom Geheimdienst NSA entworfen<ref>miracl.com</ref> und basieren auf Grundkonstanten ungeklärter Herkunft, wodurch eine Hintertür nicht ausgeschlossen werden kann.<ref name="rigid.html" /> Sie sind auch bezüglich einiger wünschenswerter Eigenschaften nicht sicher.<ref name="safecurves.cr.yp.to" />
IETF
- Algorithmen für ECC
- Nutzung von ECC in X.509 Zertifikaten
- Nutzung von ECC in IKE
- Nutzung von ECC in TLS
- Nutzung von ECC in SSH
- Nutzung von ECC in CMS
- Nutzung von ECC in XML-Signaturen
- Nutzung von ECC in OpenPGP
- Nutzung von ECC in DNSSEC
- Nutzung von ECC in Kerberos
- Elliptic Curve Private Key Structure, z. B. für PKCS#8
- zusätzliche elliptische Kurven für X.509 Zertifikate, IKE, TLS, SSH und S/MIME
- zusätzliche elliptische Kurven für X.509 Zertifikate, IKE, TLS, XML Signaturen und CMS
- Identitätsbasierte Elliptische-Kurven-Kryptosysteme
Die RFCs greifen auf die Brainpool-Kurven zurück.
ISO
- ISO 14888-3<ref name="iso_14888_3">Information technology – Security techniques – Digital signatures with appendix – Part 3: Discrete logarithm based mechanisms. ISO/IEC, abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value), Kostenpflichtiger PDF-Abruf). “{{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value)”</ref>
- ISO 15946<ref name="iso_15946">Information technology – Security techniques – Cryptographic techniques based on elliptic curves. ISO/IEC, abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value), Kostenpflichtiger PDF-Abruf). “{{Modul:Vorlage:lang}} Modul:Multilingual:153: attempt to index field 'data' (a nil value)”</ref>
IEEE
- IEEE 1363<ref name="ieee_1363">Standard Specifications For Public-Key Cryptography. The IEEE P1363 project develops Standard Specifications For Public-Key Cryptography, towards the goal of issuing a series of IEEE standards documents. IEEE, 10. Oktober 2008, archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am 1. November 2011; abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.</ref>
Der IEEE-Standard greift auf die gleiche Kurvenauswahlmethode wie der ANSI-Standard zurück, so dass die gleiche Kritik daran geäußert wurde.<ref name="rigid.html" /><ref name="bada55-20150927.pdf" />
ECC-Brainpool
Der ECC-Brainpool, eine Arbeitsgruppe des staatlich-industriellen Vereins TeleTrusT (Mitglieder u. a. BKA, BSI) zum Thema Elliptic Curve Cryptography, hat 2005 eine Anzahl von elliptischen Kurven spezifiziert, welche im März 2010 im RFC 5639<ref>Vorlage:RFC-Internet</ref> der IETF standardisiert wurde. Bei diesen Kurven ist besonders die Wahl der Bitlänge 512 zu erwähnen, abweichend zur von vielen anderen Institutionen (z. B. NIST, SECG) präferierten Bitlänge 521.
Der Designraum der Brainpool-Kurven enthält so viele Freiheitsgrade, dass eine Hintertür nicht sicher ausgeschlossen werden kann.<ref name="bada55-20150927.pdf" /> Die Brainpool-Kurven sind auch bezüglich einiger wünschenswerter Eigenschaften nicht sicher.<ref name="safecurves.cr.yp.to" />
SECG
Die „Standards for Efficient Cryptography Group“ (SECG) ist ein 1998 gegründetes Konsortium zur Förderung des Einsatzes von ECC-Algorithmen. SECG hat als erste die 521-Bit-Kurve spezifiziert, die dann vom NIST übernommen wurde. Diese spezielle Wahl beruht auf der Tatsache, dass auf Primzahlen der Form <math>2^Vorlage:N-1</math> zurückgegriffen werden sollte, um das Rechnen mit Restklassen modulo dieser Primzahl zu beschleunigen. Für <math>300< n <600</math> ist jedoch nur <math>2^Vorlage:521-1</math> eine Primzahl.<ref>secg.org (PDF; 0,3 MB)</ref>
SECG SEC 2 greift auf die Kurven der NSA aus dem NIST-Standard zurück und übernimmt zusätzlich die nicht zutreffende Behauptung des ANSI-Standards, sie seien verifizierbar zufällig gewählt worden.<ref name="rigid.html" /><ref name="bada55-20150927.pdf" />
BSI
Das Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik legt in der Technical Guideline TR-03111 Version 2.0 bzw. 2.1<ref>bsi.bund.de (PDF)</ref> Vorgaben und Empfehlungen für die Implementierung von Elliptische-Kurven-Kryptographie fest. Man beachte jedoch, dass der in der Version 2.0 definierte Algorithmus EC-Schnorr nicht kompatibel zu den in ISO 14888-3 definierten Schnorr-Signaturen EC-SDSA und EC-FSDSA ist.
SafeCurves
Das SafeCurves-Projekt von Bernstein hat mit den sicheren, akademischen Kurven Curve25519 (bzw. Ed25519), Ed448-Goldilocks und E-521 inzwischen einen De-facto-Standard geschaffen. Die staatlichen Kurven haben das Vertrauen mancher führender Kryptographen verloren, da die Kurvenwahl nicht vollständig transparent nachvollziehbar ist<ref name="bada55-20150927.pdf" /> und somit eine ähnliche kleptographische Hintertür wie bei Dual EC DRBG oder eine sonstige Hintertür nicht sicher ausgeschlossen werden kann.<ref>schneier.com</ref>
Siehe auch
Literatur
- Annette Werner: Elliptische Kurven in der Kryptographie. Springer, 2002, ISBN 3-540-42518-7.
- Lawrence C. Washington: Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. CRC, 2008, ISBN 978-1-4200-7146-7.
- David H. von Seggern: CRC Standard Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. CRC, 2016, ISBN 978-1-4822-5021-3.
Weblinks
- Video einer Vorlesung von Neal Koblitz ´über Elliptic-Curve-Cryptology, 1998, (MPG; 1,8 GB, englisch)
- ECC-Arbeitsgruppe, Domainparameter (PDF; 0,1 MB)
- Freie Implementation des „Elliptic Curve DSA“ für Windows und Linux, Download und Anleitung (englisch)
Einzelnachweise
<references> <ref name="Miller"> Victor S. Miller: Use of Elliptic Curves in Cryptography. In: Advances in Cryptology – CRYPTO ’85 Proceedings (= Lecture Notes in Computer Science). Band 218. Springer, 1986, S. 417–426, doi:10.1007/3-540-39799-X_31. </ref> <ref name="Koblitz"> </ref> <ref name="nsa-ellipticcurves"> The Case for Elliptic Curve Cryptography. 15. Januar 2009, abgerufen am 3. November 2011 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref> <ref name="ecrypt"> ECRYPT II Yearly Report on Algorithms and Keysizes (2011–2012). (PDF; 886 kB) 30. September 2012, abgerufen am 15. Dezember 2016 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 153: attempt to index field 'data' (a nil value)). </ref> </references>