Mengenverband

In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.<ref>Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 14. Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.</ref> Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Definition

Sei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge. Ein System <math>\mathcal V</math> von Teilmengen von <math>\Omega</math> heißt ein Mengenverband oder Verband über <math>\Omega</math>, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

<math>\mathcal V \neq \emptyset</math> (<math>\mathcal V</math> ist nicht leer).
<math>A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cup B \in \mathcal V</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
<math>A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cap B \in \mathcal V</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

Beispiele

Über jeder beliebigen Menge <math>\Omega</math> ist mit <math>\{A\}, A \subseteq \Omega,</math> ein kleinster und mit der Potenzmenge <math>\mathcal P(\Omega)</math> der größte mögliche Mengenverband gegeben.
Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes <math>\mathcal V</math> in ihm enthalten ist, d. h. für alle <math>n \in \mathbb N</math> gilt:

<math>A_1, \dots, A_n \in \mathcal V \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal V</math> und <math>A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal V.</math>

Äquivalente Definitionen

Wenn <math>\mathcal V</math> ein System von Teilmengen von <math>\Omega</math> ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

<math>\mathcal V</math> ist ein Mengenverband.
<math>(\mathcal V,\cup)</math> und <math>(\mathcal V,\cap)</math> sind Halbverbände im Sinne der Algebra.
<math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein Verband im Sinne der Algebra.
<math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein distributiver Verband im Sinne der Algebra.
<math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein idempotenter kommutativer Halbring im Sinne der Algebra.<ref>Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!</ref>
<math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

Siehe auch

Mengenlehre

Literatur

Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
U. Hebisch, H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim/Zürich 1985, ISBN 3-411-03102-6.
Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. erw. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1967.

Anmerkungen und Einzelnachweise