Mengenverband

In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.</ref> Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Definition

Sei <math>\Omega</math> eine beliebige Menge. Ein System <math>\mathcal V</math> von Teilmengen von <math>\Omega</math> heißt ein Mengenverband oder Verband über <math>\Omega</math>, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. <math>\mathcal V \neq \emptyset</math> (<math>\mathcal V</math> ist nicht leer).
2. <math>A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cup B \in \mathcal V</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. <math>A, B \in \mathcal V \Rightarrow A \cap B \in \mathcal V</math> (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

Beispiele

• Über jeder beliebigen Menge <math>\Omega</math> ist mit <math>\{A\}, A \subseteq \Omega,</math> ein kleinster und mit der Potenzmenge <math>\mathcal P(\Omega)</math> der größte mögliche Mengenverband gegeben.
• Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes <math>\mathcal V</math> in ihm enthalten ist, d. h. für alle <math>n \in \mathbb N</math> gilt:

<math>A_1, \dots, A_n \in \mathcal V \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal V</math> und <math>A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal V.</math>

Äquivalente Definitionen

Wenn <math>\mathcal V</math> ein System von Teilmengen von <math>\Omega</math> ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• <math>\mathcal V</math> ist ein Mengenverband.
• <math>(\mathcal V,\cup)</math> und <math>(\mathcal V,\cap)</math> sind Halbverbände im Sinne der Algebra.
• <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein Verband im Sinne der Algebra.
• <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein distributiver Verband im Sinne der Algebra.
• <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein idempotenter kommutativer Halbring im Sinne der Algebra.<ref>Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!</ref>
• <math>(\mathcal V,\cup,\cap)</math> ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

Verwandte Strukturen

• Ein Mengenring ist ein Mengenverband, der zusätzlich differenzstabil ist.
• Eine Mengenalgebra ist ein Mengenverband, der sogar komplementstabil ist. Mengenalgebren sind spezielle Mengenringe.

Siehe auch

• Mengenlehre

Literatur

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Anmerkungen und Einzelnachweise

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