Liouville-Funktion

Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben <math>\lambda</math> bezeichnet und ist wie folgt definiert:

<math>\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)},\,</math>

dabei bezeichnet <math>\Omega(n)</math> die Ordnung von <math>n</math>, also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem <math>\lambda(0)=0</math> und <math>\lambda(1)=1</math>.

Die ersten Werte (beginnend bei <math>n=1</math>) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836<ref>Vorlage:Cite book/Name: [ A008836 Liouville's function lambda(n) = (-1)^k, where k is number of primes dividing n (counted with multiplicity).] The OEIS Foundation, , archiviert vom Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar) am Vorlage:Cite book/URL; abgerufen am 16. Juli 2019 (englisch). Vorlage:Cite book/URLVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung2Vorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/MeldungVorlage:Cite book/Meldung</ref>)<ref>Vgl. Folgen A026424 und A028260.</ref>

Eigenschaften

Es gilt<ref>Kimberly Lloyd: Liouville function. (Memento des Vorlage:IconExternal vom 2. Dezember 2008 im Internet Archive) Datei:Pictogram voting info.svg Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/planetmath.org Auf: PlanetMath.org. (englisch)</ref>

<math>\sum_{d|n}\lambda(d)=\begin{cases} 1, \qquad \mathrm{wenn}\; n\; \mathrm{eine\; Quadratzahl\; ist} \\ 0,\qquad\mathrm{sonst.}\end{cases}</math>

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion <math>\mu</math> durch<ref>A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)</ref>

<math>\lambda(n)=\sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right).</math>

Reihen

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion <math>\zeta</math> ausdrücken:<ref>Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.</ref>

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.</math>

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}=\frac12(\vartheta_3(q)-1),</math>

wobei <math>\vartheta_3</math> die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen

Datei:Liouville.svg

Graph von <math>L_n</math> bis n=10.000

Datei:Liouville-big.svg

Graph von <math>L_n</math> bis <math>10^7</math>

Es sei

<math>L(n)=\sum_{k=1}^n \lambda(k).</math>

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets<ref>Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch). </ref>

<math>L(n)\le 0.</math>

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist <math>n=906150257</math>. Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob <math>L</math> sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

<math>M(n)=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}k.</math>

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große <math>n</math> stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass <math>M</math> unendlich oft negative Werte annimmt.<ref>Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.</ref> Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.<ref>Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).</ref>

Chowla-Vermutung

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla<ref>Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert’s tenth problem, Gordon and Breach 1965</ref> besagt, dass für <math>k</math> verschiedene natürliche Zahlen <math>h_1,\ldots,h_k</math> gilt:

<math>\sum_{1 \leq n \leq x} \lambda (n + h_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (n + h_k) = o (x)</math>

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit <math> x \to \infty</math>, siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für <math> k \geq 2</math>. Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.<ref>K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv</ref> Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von <math>\lambda (n), \cdot \cdot \cdot , \lambda (n+k)</math> für eine zufällig gewählte natürliche Zahl <math>n \leq x</math> und beliebige <math>k \in \mathbb N</math> asymptotisch für <math> x \to \infty</math> gleichverteilt ist.<ref>Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao</ref>

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Liouville Function. In: MathWorld (englisch).
• A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
• Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)

Einzelnachweise

<references />