Liouville-Funktion
Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben <math>\lambda</math> bezeichnet und ist wie folgt definiert:
- <math>\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)},\,</math>
dabei bezeichnet <math>\Omega(n)</math> die Ordnung von <math>n</math>, also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.
Man definiert außerdem <math>\lambda(0)=0</math> und <math>\lambda(1)=1</math>.
Die ersten Werte (beginnend bei <math>n=1</math>) sind
- 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, … (OEIS,A008836<ref>{{#if:Vorlage:Cite book/URL|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:{{#if:
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Eigenschaften
Es gilt<ref>Kimberly Lloyd: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20081202184657
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}}
}}
}} Auf: PlanetMath.org. (englisch)</ref>
- <math>\sum_{d|n}\lambda(d)=\begin{cases} 1, \qquad \mathrm{wenn}\; n\; \mathrm{eine\; Quadratzahl\; ist} \\ 0,\qquad\mathrm{sonst.}\end{cases}</math>
Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion <math>\mu</math> durch<ref>A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)</ref>
- <math>\lambda(n)=\sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right).</math>
Reihen
Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion <math>\zeta</math> ausdrücken:<ref>Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.</ref>
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.</math>
Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch
- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}=\frac12(\vartheta_3(q)-1),</math>
wobei <math>\vartheta_3</math> die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.
Summen
Es sei
- <math>L(n)=\sum_{k=1}^n \lambda(k).</math>
Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets<ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>
- <math>L(n)\le 0.</math>
Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist <math>n=906150257</math>. Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob <math>L</math> sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.
Eine verwandte Summe ist
- <math>M(n)=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}k.</math>
Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große <math>n</math> stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass <math>M</math> unendlich oft negative Werte annimmt.<ref>Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.</ref> Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.<ref>Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: Vorlage:ArXiv (23. Juni 2009).</ref>
Chowla-Vermutung
Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla<ref>Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert’s tenth problem, Gordon and Breach 1965</ref> besagt, dass für <math>k</math> verschiedene natürliche Zahlen <math>h_1,\ldots,h_k</math> gilt:
- <math>\sum_{1 \leq n \leq x} \lambda (n + h_1) \cdot \cdot \cdot \lambda (n + h_k) = o (x)</math>
(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit <math> x \to \infty</math>, siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für <math> k \geq 2</math>. Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.<ref>K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167–2196, Arxiv</ref> Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.
Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von <math>\lambda (n), \cdot \cdot \cdot , \lambda (n+k)</math> für eine zufällig gewählte natürliche Zahl <math>n \leq x</math> und beliebige <math>k \in \mathbb N</math> asymptotisch für <math> x \to \infty</math> gleichverteilt ist.<ref>Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao</ref>
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Liouville Function. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
- A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
- Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
Einzelnachweise
<references />
Kategorien:
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:"
- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv/Archiv-URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Webarchiv/Linktext fehlt
- Wikipedia:Wikidata P2812 verschieden
- Wikipedia:Wikidata P2812 fehlt
- Zahlentheoretische Funktion