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Hamilton-Funktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Dies ist die aktuelle Version dieser Seite, zuletzt bearbeitet am 25. August 2025 um 12:27 Uhr durch imported>Qcomp (umformuliert: ein Satz war unvollständig; H ist im allgemeinen als Fkt der generalisierten Koordinaten u Impuls definiert warum das ganze nicht einfacher in einem Satz? Ich finde es klarer zu sagen, wann H die Energie darstellt (skleronome Randbedingungen) als wann nicht (rheonome);).
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Vorlage:Hinweisbaustein Die Hamilton-Funktion <math>\mathcal H(\vec q_1, \vec q_2, \ldots,\vec p_1, \vec p_2, \ldots, t)</math> eines Systems von Teilchen, ist deren Gesamtenergie, als Funktion der verallgemeinerten Orte und Impulse dieser Teilchen und ggf. der Zeit, sofern „skleronome“, d. h. nicht zeitabhängige Zwangsbedingungen vorliegen. Sie ist nach William Rowan Hamilton benannt und wird (aus dem Englischen übernommen) auch als Hamiltonian bezeichnet. Sie ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion des Systems.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

<math>\mathcal H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t), \text{ mit } \dot{\mathbf{q}} = \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)</math>

und hängt ab von

Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion <math>\mathcal L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})</math> bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten <math>\dot{\mathbf{q}} =(\dot q_1, \dot q_2, \dotsc, \dot q_n)</math> abhängt:

<math>\mathcal H(t,\mathbf{q},\mathbf{p})= \left\{\sum_{i=1}^n \dot q_i\, p_i\right\} - \mathcal L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})</math>

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten <math>\dot \mathbf{q}</math> diejenigen Funktionen

<math>\dot \mathbf{q}(t, \mathbf{q}, \mathbf{p})</math>

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

<math>p_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t),

\quad i = 1, \dots, n</math>

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \mathrm dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \mathrm dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \mathrm dt</math>

Aufgrund der Produktregel erhält man

<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i \mathrm d\dot{q}_i + \dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt,</math>

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} = p_i</math> die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt</math>

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot{q}_i</math>
<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i</math>
<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}</math>

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

<math>\begin{align}

\frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} & = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\ 

                      & = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\
                      & = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}

\end{align}</math>

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit <math>t</math> abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

<math>\mathcal H \neq \mathcal H(t) \Rightarrow \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = 0 \Rightarrow \mathcal H = konst.</math>

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

<math>\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}</math>
<math>\dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}</math>

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für <math>\mathcal H(t, \mathbf{q}, \mathbf{p})</math> als Funktion von Operatoren <math>\mathbf{q}</math> und <math>\mathbf{p}</math> liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse <math>m</math>, das sich nichtrelativistisch in einem Potential <math>V</math> bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\frac{\vec p^2}{2\,m}+V(\vec q)</math>

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

<math>E^2-\vec p^2\,c^2=m^2\,c^4</math>

gilt für die Hamilton-Funktion<ref>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 2, Klassische Feldtheorie -. 8. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1981, S. 32.</ref>

<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}.</math>

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion<ref>L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 2, Klassische Feldtheorie -. 8. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1981, S. 30.</ref>

<math>\mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}</math>

hängt der generalisierte Impuls <math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\vec q}}</math> gemäß

<math>\vec p=\frac{m \dot{\vec q}}{\sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}}</math>

von der Geschwindigkeit <math>\dot{\vec q}</math> ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

<math>\dot{\vec q}=\frac{\vec p\,c^2}{\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}}</math>

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch<ref>Torsten Fließbach: Mechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. 6. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7, S. 247.</ref>:

<math>\mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E</math>

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

In kartesischen Koordinaten (<math>\vec q = \vec x</math>) lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Ladung <math>q</math>, das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt<ref>Torsten Fließbach: Mechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik I. 6. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7, S. 73.</ref>,

<math>\mathcal L = \frac 12 m \dot{\vec{x}}^2 + q \left( \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} \right) - q \phi</math>

Dabei ist <math>\phi</math> das elektrische Potential und <math>\vec A</math> das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Der kanonische Impuls ist

<math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \vec x} = m\dot \vec x + q \vec A </math>

Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:

<math>\dot \vec x = \frac 1m \left( \vec p - q \vec A \right) </math>

Wird der Ausdruck für <math>\dot \vec x </math> und <math>\vec p</math> in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:

<math>

\begin{align} 

\mathcal H & = \dot \vec x \cdot \vec p - \mathcal L = \frac{\vec p}{m}\cdot \left( \vec p - q \vec A \right)-\frac{m}{2} \frac{1}{m^2} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 - \frac {q}{m} \left( \vec p - q \vec A \right)\cdot \vec{A} + q \phi  \\
& = \frac{1}{m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 - \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2+ q \phi= \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 + q \phi

\end{align} </math>

Literatur

  • Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2. Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.

Einzelnachweise

<references />

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