Astroide
Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich mit einem Parameter <math>t \in [0,2\pi]</math> durch die Parametergleichungen<ref name="Bronstein-105">Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 105.</ref>
- <math>x = a (\cos t)^3 \ </math>
- <math>y = a (\sin t)^3 \ </math>
oder durch die implizite Gleichung
- <math>x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \, </math><ref name="Bronstein-105" />, welche äquivalent zu <math> \quad
(x^2+y^2-a^2)^3 + 27 a^2 x^2 y^2 = 0</math> ist,
beschreiben lässt. <math>a</math> ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius <math>\tfrac{1}{4}a</math> beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius <math>a</math> abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.
Für ihren Flächeninhalt <math>A</math> gilt<ref name="Bronstein-105" />
- <math>A = \frac{3}{8} \pi a^2</math>.
Die Länge <math>\ell</math> der gesamten Kurve beträgt <math>\ell = 6a</math>.<ref name="Bronstein-105" /> Innerhalb eines Kurvenviertels <math> 0 \le t \le \frac{\pi}{2} </math> gilt für die Bogenlänge
- <math>s(t) = \frac{3}{2}a\sin^2(t) </math>
und für den Krümmungsradius
- <math> \rho(t) = \frac{3}{2}a\sin(2t)</math>.
Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.
Schwerpunkt
| Schwerpunkte der Astroiden | |||
|---|---|---|---|
| Intervall | <math>x_\mathrm{S}</math> | <math>y_\mathrm{S}</math> | |
| Ebenes Kurvenstück | 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math> | <math>\tfrac{2}{5}a </math> | <math>\tfrac{2}{5}a </math> |
| 0 ≤ t ≤ <math>\pi</math> | 0 | <math>\tfrac{2}{5}a</math> | |
| Ebene Figur | 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math> | <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math> | <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math> |
| 0 ≤ t ≤ <math>\pi</math> | 0 | <math>\tfrac{256}{315 \pi} a</math> | |
| Drehkörper* | 0 ≤ t ≤ <math>\tfrac{\pi}{2}</math> | <math>\tfrac{21}{128}a</math> | 0 |
*Bei Rotation um die X-Achse <math>( z_S = 0 )</math>
Schiefe Astroide
Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen
- <math>x = a (\cos t)^3 \ </math>
- <math>y = b (\sin t)^3 \ </math>
oder durch die implizite Gleichung
- <math>\left({\frac{x}{a}}\right)^{\frac{2}{3}} + \left({\frac{y}{b}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1</math>
beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.
Siehe auch
Einzelnachweise
<references />
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Astroid. In: MathWorld (englisch).
- Astroide bei 2dcurves.com (englisch)
- Stoner-Wohlfarth Astroiden Applet (Physik). (englisch)