Evolute
Die Evolute einer ebenen Kurve ist
- die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises der Kurve bewegt, wenn dieser die gesamte Kurve durchläuft.
Oder auch:
Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den Evolventen einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.
Evolute einer parametrisierten Kurve
Beschreibt <math>\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2]</math> eine reguläre Kurve in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind <math>\rho(t)</math> der Krümmungskreisradius und <math>\vec n(t)</math> die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist
- <math>\vec E(t)=\vec c(t) +\rho (t)\vec n(t)</math>
die Evolute der gegebenen Kurve.
Ist <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math> und <math>\vec E=(X,Y)^T</math>, so ist
- <math>\displaystyle X(t) = x(t) - \frac{y'(t) \cdot \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) \cdot y(t) - x(t) \cdot y'(t)}</math> und
- <math>\displaystyle Y(t) = y(t) + \frac{x'(t) \cdot \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) \cdot y(t) - x(t) \cdot y'(t)}</math>.
Eigenschaften der Evolute
Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die Bogenlänge <math>s</math> der gegebenen Kurve als Parameter zu verwenden. Denn dann gilt (s. Frenetsche Formeln) <math>\;|\vec c'|=1\;</math> und {{#if:trim|}} Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute <math>\;\vec E=\vec c +\rho \vec n \;</math>:
- <math>\vec E'=\vec c' +\rho'\vec n +\rho\vec n'=\rho'\vec n\; .</math>
Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:
- Die Evolute ist in Punkten mit <math>\rho'=0</math> nicht regulär, d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung Spitzen (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
- Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die Einhüllende der Normalen der gegebenen Kurve.
- In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen <math>\rho'>0</math> bzw. <math>\rho'<0</math> gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)
Beweis der letzten Eigenschaft:
In dem betrachteten Abschnitt sei <math>\rho'>0</math>. Eine Evolvente der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:
- <math>\vec C_0=\vec E -\frac{\vec E'}{|\vec E'|}\;\Big(\int_0^s|\vec E'(w)|\; \mathrm dw+l_0\;\Big)\; ,</math>
wobei <math>l_0</math> eine Fadenverlängerung bedeutet (s. Evolvente).
Mit <math>\vec E=\vec c +\rho\vec n\; ,\; \vec E'=\rho'\vec n</math> und <math>\rho'>0</math> ergibt sich
- <math>\vec C_0 = \vec c +\rho\vec n-\vec n \;\Big(\int_0^s\rho'(w)\; \mathrm dw\;+l_0\Big)= \vec c +(\rho(0)-l_0)\; \vec n\; .</math>
D. h., für die Fadenverlängerung <math>l_0=\rho(0)</math> erhält man die gegebene Kurve wieder.
- Parallele Kurven besitzen dieselbe Evolute.
Beweis: Eine zur gegebenen Kurve im Abstand <math>d</math> parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung <math>\vec c_d =\vec c +d\vec n</math> und den Krümmungsradius (s. Parallelkurve) <math>\rho_d=\rho -d</math>. Die Evolute der Parallelkurve ist also <math>\vec E_d=\vec c_d +\rho_d \vec n=\vec c +d\vec n +(\rho -d)\vec n=\vec c +\rho \vec n = \vec E\; .</math>
Beispiele
Evolute der Normalparabel
Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung <math>(t,t^2)</math> beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:
- <math>X=\cdots=-4t^3</math>
- <math>Y=\cdots=\frac{1}{2}+3t^2</math>
Dies ist die Parameterdarstellung einer Neilschen Parabel.
Evolute einer Ellipse
Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung <math>(a\cos t, b\sin t)</math> ergibt sich:<ref>R.Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.</ref>
- <math>X=\cdots = \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t</math>
- <math>Y=\cdots = \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t</math>
Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe Astroide. Elimination von <math>t</math> liefert die implizite Darstellung
- <math>(aX)^{\tfrac{2}{3}} +(bY)^{\tfrac{2}{3}}=(a^2-b^2)^{\tfrac{2}{3}}\ .</math>
Evoluten bekannter Kurven
- Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
- Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
- Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
- Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
- Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
- Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
- Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
- Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
- Zu einer logarithmischen Spirale: die gleiche logarithmische Spirale
- Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
- Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
- Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)
Einzelnachweise
<references />
Literatur
- K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und … Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
- Kleine Enzyklopädie Mathematik. Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.
Weblinks
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