Carnot-Wirkungsgrad
Der Carnot-Wirkungsgrad <math>\eta_\text{c}</math> (sprich: Eta, griechischer Buchstabe „eta“, kleines h), auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.<ref name="Jürgen U. Keller">Jürgen U. Keller: Technische Thermodynamik in Beispielen / Grundlagen. Walter de Gruyter, 2011, ISBN 978-3-11-084335-4, S. 188 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.).</ref> Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.<ref name="Paul A. Tipler, Gene Mosca">Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Studierende der Naturwissenschaften und Technik. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-662-58281-7, S. 621 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden.).</ref>
Berechnung
Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den (in Kelvin angegebenen) Temperaturen <math>T_\text{h}</math> (heiß) und <math>T_\text{k}</math> (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:<ref name="Jürgen U. Keller" />
- <math>\eta_\text{c} = \frac{T_\text{h} - T_\text{k}}{T_\text{h}} = 1 - \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}} </math>
Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher <math>T_\text{h}</math> und je tiefer <math>T_\text{k}</math> ist. Da <math>T_\text{h}</math> nach oben und <math>T_\text{k}</math> nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.
Beispiel
Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:
- <math>\eta_\text{c} = 1 - \frac{373{,}15}{1073{,}15} = 0{,}652 = 65{,}2 \ \%</math>
Theoretische Grundlage
Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme <math>Q_\text{h}</math> aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur <math>T_\text{h}</math> und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit <math>W</math> (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme <math>Q_\text{k}</math> in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur <math>T_\text{k}</math>. Der Wirkungsgrad <math>\eta</math> der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:<ref>Freund, Hans-Joachim.: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6., vollst. überarb. u. aktualis. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0.</ref>
- <math>\eta = \frac{W}{Q_\text{h}}</math>
Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie <math>S_\text{h} = \frac{Q_\text{h}}{T_\text{h}}</math> auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie <math>S_\text{k} = \frac{Q_\text{k}}{T_\text{k}}</math> auf das kalte Reservoir übertragen.
Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:
- <math>S_\text{k} \ge S_\text{h}</math>.
Entsprechend gilt für die Wärme:
- <math>\Rightarrow Q_\text{k} \ge Q_\text{h} \, \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}}</math>
Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist
- <math>Q_\text{k} = Q_\text{h} - W</math>,
so folgt für die Nutzarbeit:
- <math>\Rightarrow W \le Q_\text{h} \left(1 - \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}}\right)</math>
und entsprechend für den Wirkungsgrad:
- <math>\eta \le \eta_\text{c}</math>.
In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.
Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen
In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:
- Wärmepumpe: <math>W_\text{el} > \left(1 - \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}}\right) \, Q_\text{h}</math>
- Kältemaschine: <math>W_\text{el} > \left(\frac{T_\text{h}}{T_\text{k}} - 1\right) \, Q_\text{k}</math>.
Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen <math>\epsilon</math> beschrieben.
Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme <math>Q_\text{h}</math> genutzt:
- <math>\epsilon_\text{WP} = \frac{Q_\text{h}}{W_\text{el}} < \epsilon_{\text{WP,c}}</math>
mit
- <math>\epsilon_\text{WP,c} = \frac{1}{\eta_c} = \frac{T_\text{h}}{T_\text{h} - T_\text{k}} > 1</math>.
Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme <math>Q_\text{k}</math> die Nutzgröße:
- <math>\epsilon_\text{KM} = \frac{Q_\text{k}}{W_\text{el}} < \epsilon_\text{KM,c}</math>
mit:
- <math>\epsilon_\text{KM,c} = \frac{1}{\eta_\text{c}} -1 = \frac{T_\text{k}}{T_\text{h} - T_\text{k}}</math>.
Weblinks
Einzelnachweise
<references />