Carnot-Wirkungsgrad

Carnot-Wirkungsgrad (in %) in Abhängigkeit von T_k und T_h (jeweils in °C)

Der Carnot-Wirkungsgrad <math>\eta_\text{c}</math> (sprich: Eta, griechischer Buchstabe „eta“, kleines h), auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie.<ref name="Jürgen U. Keller">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.<ref name="Paul A. Tipler, Gene Mosca">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den (in Kelvin angegebenen) Temperaturen <math>T_\text{h}</math> (heiß) und <math>T_\text{k}</math> (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:<ref name="Jürgen U. Keller" />

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher <math>T_\text{h}</math> und je tiefer <math>T_\text{k}</math> ist. Da <math>T_\text{h}</math> nach oben und <math>T_\text{k}</math> nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme <math>Q_\text{h}</math> aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur <math>T_\text{h}</math> und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit <math>W</math> (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme <math>Q_\text{k}</math> in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur <math>T_\text{k}</math>. Der Wirkungsgrad <math>\eta</math> der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie <math>S_\text{h} = \frac{Q_\text{h}}{T_\text{h}}</math> auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie <math>S_\text{k} = \frac{Q_\text{k}}{T_\text{k}}</math> auf das kalte Reservoir übertragen.

Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:

<math>S_\text{k} \ge S_\text{h}</math>.

Entsprechend gilt für die Wärme:

<math>\Rightarrow Q_\text{k} \ge Q_\text{h} \, \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}}</math>

Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist

<math>Q_\text{k} = Q_\text{h} - W</math>,

so folgt für die Nutzarbeit:

<math>\Rightarrow W \le Q_\text{h} \left(1 - \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}}\right)</math>

und entsprechend für den Wirkungsgrad:

<math>\eta \le \eta_\text{c}</math>.

In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

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In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

Wärmepumpe: <math>W_\text{el} > \left(1 - \frac{T_\text{k}}{T_\text{h}}\right) \, Q_\text{h}</math>
Kältemaschine: <math>W_\text{el} > \left(\frac{T_\text{h}}{T_\text{k}} - 1\right) \, Q_\text{k}</math>.

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen <math>\epsilon</math> beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme <math>Q_\text{h}</math> genutzt:

<math>\epsilon_\text{WP} = \frac{Q_\text{h}}{W_\text{el}} < \epsilon_{\text{WP,c}}</math>

mit

<math>\epsilon_\text{WP,c} = \frac{1}{\eta_c} = \frac{T_\text{h}}{T_\text{h} - T_\text{k}} > 1</math>.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme <math>Q_\text{k}</math> die Nutzgröße:

<math>\epsilon_\text{KM} = \frac{Q_\text{k}}{W_\text{el}} < \epsilon_\text{KM,c}</math>

mit:

<math>\epsilon_\text{KM,c} = \frac{1}{\eta_\text{c}} -1 = \frac{T_\text{k}}{T_\text{h} - T_\text{k}}</math>.

Weblinks

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Einzelnachweise

<references /> en:Carnot efficiency