Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall

Aussage

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> mit zwei endlichen Konstanten <math>\mu</math> und <math>\sigma^2 \geq 0</math>

<math> {\sqrt{n}(X_n-\mu)\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math>

gilt, wobei <math>\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}</math> die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion <math>g</math> mit <math>g'(\mu) \neq 0</math>:

<math>\sqrt{n}(g(X_n)-g(\mu))\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}(0,\sigma^2 (g'(\mu))^2)\;.</math><ref>Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.13 Theorem (The Delta Method), S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. </ref>

Beispiel

Es sei <math>X_1,\ldots, X_n</math> eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>0 < \sigma^2 <\infty</math>. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel <math>\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

<math>\sqrt{n} (\bar{X_n} - \mu) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}(0,\sigma^2)</math>.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von <math>Y_n = \mathrm{e}^{\bar X_n}</math> interessiert, dann ist <math>g(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(\mu) = \mathrm{e}^\mu</math> und <math>(g'(\mu))^2 = \mathrm{e}^{2\mu}</math>. Die Delta-Methode ergibt dann

<math>\sqrt{n}(Y_n - \mathrm{e}^\mu) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}(0,\sigma^2 \mathrm{e}^{2\mu})\;.</math><ref>Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.14 Example, S. 79, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. </ref>

Verallgemeinerung

Für den Fall <math>g'(\mu) =0</math> und <math>g(\mu) \neq 0 </math> gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

<math>n(g(X_n)-g(\mu))\stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \sigma^2 \frac{g(\mu)}{2}Z^2\;,</math>

wobei <math>Z</matH> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.<ref>Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, S. 4, doi:10.1007/s13571-023-00305-9. </ref>

Multivariater Fall

Für eine Folge <math>p</math>-dimensionaler Zufallsvektoren <math>\mathbf X_1,\dots,\mathbf X_n</math> gelte

<math> {\sqrt{n}(\mathbf X_n-\boldsymbol{\mu})\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}_p(\mathbf{0},\boldsymbol{\Sigma})}</math>

mit <math>\boldsymbol{\mu} \in \R^p</math> und einer positiv semidefiniten Matrix <math>\boldsymbol{\Sigma}\in \R^{p\times p} </math>. Für eine differenzierbare Funktion <math>g:\R^p \to \R</math> bezeichne <math>\nabla_\boldsymbol{\mu}</math> den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>\boldsymbol{\mu}</math>, der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

<math>\sqrt{n}(g(\mathbf{X}_n)-g(\boldsymbol \mu)) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}\left(0,\nabla_\boldsymbol{\mu}^T \boldsymbol\Sigma \nabla_\boldsymbol{\mu}\right)</math>.<ref>Larry Wasserman: All of Statistics – A Concise Course in Statistical Inference. Springer, New York 2004, ISBN 978-1-4419-2322-6, 5.15 Theorem (The Multivariate Delta Method), S. 79–80, doi:10.1007/978-0-387-21736-9. </ref>

Funktionale Delta-Methode

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode.<ref>Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 20 Functional Delta Method, S. 291–303. </ref> Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Literatur

• Anil K. Bera, Malabika Koley: A History of the Delta Method and Some New Results. In: Sankhya B: The Indian Journal of Statistics. Band 85, 2023, doi:10.1007/s13571-023-00305-9. 
• Aad W. van der Vaart: Asymptotic Statistics (= Cambridge Series in Statistics and Probabilistic Mathematics). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 978-0-521-78450-4, Kap. 3 Delta Method, S. 25–34. 

Einzelnachweise

<references/>