Delta-Methode

Die Delta-Methode ist in der asymptotischen Statistik eine Methode um die asymptotische Normalverteilung der Funktion einer asymptotisch normalverteilten Zufallsvariablen zu bestimmen.

Univariater Fall

Aussage

Wenn für eine Folge von Zufallsvariablen <math>X_1,\dots,X_n</math> mit zwei endlichen Konstanten <math>\mu</math> und <math>\sigma^2 \geq 0</math>

<math> {\sqrt{n}(X_n-\mu)\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math>

gilt, wobei <math>\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}</math> die Konvergenz in Verteilung bezeichnet, dann gilt für eine differenzierbare Funktion <math>g</math> mit <math>g'(\mu) \neq 0</math>:

<math>\sqrt{n}(g(X_n)-g(\mu))\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}(0,\sigma^2 (g'(\mu))^2)\;.</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beispiel

Es sei <math>X_1,\ldots, X_n</math> eine Folge stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit Erwartungswert <math>\mu</math> und Varianz <math>0 < \sigma^2 <\infty</math>. Für die Folge der zufälligen arithmetischen Mittel <math>\bar X_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> folgt dann aus dem zentralen Grenzwertsatz der Statistik

<math>\sqrt{n} (\bar{X_n} - \mu) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}(0,\sigma^2)</math>.

Wenn man sich für die asymptotische Verteilung von <math>Y_n = \mathrm{e}^{\bar X_n}</math> interessiert, dann ist <math>g(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(x) = \mathrm{e}^x</math>, <math>g'(\mu) = \mathrm{e}^\mu</math> und <math>(g'(\mu))^2 = \mathrm{e}^{2\mu}</math>. Die Delta-Methode ergibt dann

<math>\sqrt{n}(Y_n - \mathrm{e}^\mu) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}(0,\sigma^2 \mathrm{e}^{2\mu})\;.</math><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Verallgemeinerung

Für den Fall <math>g'(\mu) =0</math> und <math>g(\mu) \neq 0 </math> gibt es eine Verallgemeinerung der Delta-Methode, die Delta-Methode zweiter Ordnung, die besagt, dass

<math>n(g(X_n)-g(\mu))\stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \sigma^2 \frac{g(\mu)}{2}Z^2\;,</math>

wobei <math>Z</matH> eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Multivariater Fall

Für eine Folge <math>p</math>-dimensionaler Zufallsvektoren <math>\mathbf X_1,\dots,\mathbf X_n</math> gelte

<math> {\sqrt{n}(\mathbf X_n-\boldsymbol{\mu})\stackrel{\text{V}}{\;\to\;}\mathcal{N}_p(\mathbf{0},\boldsymbol{\Sigma})}</math>

mit <math>\boldsymbol{\mu} \in \R^p</math> und einer positiv semidefiniten Matrix <math>\boldsymbol{\Sigma}\in \R^{p\times p} </math>. Für eine differenzierbare Funktion <math>g:\R^p \to \R</math> bezeichne <math>\nabla_\boldsymbol{\mu}</math> den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen der Funktion <math>g</math> an der Stelle <math>\boldsymbol{\mu}</math>, der komponentenweise von Null verschieden ist. Dann gilt

<math>\sqrt{n}(g(\mathbf{X}_n)-g(\boldsymbol \mu)) \stackrel{\text{V}}{\;\to\;} \mathcal{N}\left(0,\nabla_\boldsymbol{\mu}^T \boldsymbol\Sigma \nabla_\boldsymbol{\mu}\right)</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Funktionale Delta-Methode

Es gibt eine Verallgemeinerung für Funktionen einer unendlich-dimensionalen Zufallsvariable (eines stochastischen Prozesses) durch die funktionale Delta-Methode.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Die funktionale Delta-Methode wird manchmal auch als Von-Mises-Methode bezeichnet.

Literatur

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Einzelnachweise