Quelltext der Seite Z2 (Gruppe)

Die '''zyklische Gruppe vom Grad 2''' (<math>\Z_2</math> oder <math>C_2</math>) ist die kleinste [[triviale Gruppe|nichttriviale]] Gruppe in der [[Gruppentheorie]] und damit die kleinste [[endliche einfache Gruppe]]. Sie ist  isomorph zur [[symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_2</math>, zur ersten [[Diedergruppe]] <math>D_1</math> und zur [[orthogonale Gruppe|orthogonalen Gruppe]] <math>O(1)</math> im Eindimensionalen.

== Eigenschaften ==
Da die Gruppe [[Niels Henrik Abel#Eponyme – nach ihm benannt|abelsch]] ist, schreibt man die Verknüpfung gerne additiv mit 0 als [[Neutrales Element|neutralem Element]] und 1 als dem zweiten Element der Gruppe. Diese Schreibweise wird durch Herkunft als [[Faktorgruppe]] <math>\Z_2</math> der additiven Gruppe der ganzen Zahlen <math>\Z</math> nahegelegt.
Die [[Verknüpfungstafel]] dieser Gruppe lautet:
{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center;"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>+</math>
! class="hintergrundfarbe6" | 0
! class="hintergrundfarbe6" | 1
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  0
|  0 || 1
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  1 
|  1 || 0 
|-
|}

Die Operation dieser Gruppe kann mannigfaltig interpretiert werden, wie zum Beispiel als [[XOR]]-Verknüpfung. Eine multiplikative Sicht ergibt sich daraus, dass die Gruppe <math>\{1,2\}</math> der invertierbaren Elemente des [[Endlicher Körper|endlichen Körpers]] <math>\Z_3 = \{0,1,2\}</math> isomorph zu <math>\Z_2</math> ist, man erhält folgende multiplikative Verknüpfungstafel, bei 1 das neutrale Element ist:

{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center;"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>\cdot</math>
! class="hintergrundfarbe6" | 1
! class="hintergrundfarbe6" | 2
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  1
|  1 || 2
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  2 
|  2 || 1 
|-
|}

Eine weitere Realisierung erhält man als [[Einheitengruppe]] des [[Ring (Algebra)|Ringes]] <math>\Z</math>. Diese ist <math>\{-1,1\}\subset \Z</math> und man erhält die Verknüpfungstafel

{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center;"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>\cdot</math>
! class="hintergrundfarbe6" | 1
! class="hintergrundfarbe6" | −1
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  1
|  1 || −1
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  −1 
|  −1 || 1 
|-
|}

Die [[zyklische Gruppe]] vom Grad 2 ist die einzige Gruppe mit der Ordnung 2.

== ℤ<sub>2</sub> als Untergruppe ==

* Das [[direktes Produkt|direkte Produkt]] der zyklischen Gruppe vom Grad 2 mit sich selbst ergibt die [[Kleinsche Vierergruppe]]: <math>\Z_2 \times \Z_2 = V_4</math>.
* Das direkte Produkt [[Abzählbare Menge|abzählbar]] vieler dieser Gruppen ergibt die [[Cantorgruppe]].
* Die [[S3 (Gruppe)|symmetrische Gruppe <math>S_3</math>]] enthält drei zur Gruppe <math>\Z_2</math> isomorphe echte [[Untergruppe]]n.

== Darstellungen ==

Jede nichttriviale [[Darstellungstheorie|Darstellung]] der <math>\Z_2</math> bildet das nichttriviale Element auf eine [[Involution (Mathematik)|Involution]] ab, umgekehrt definiert jede lineare Involution eine Darstellung der <math>\Z_2</math>.

Im Fall reeller Vektorräume ist jede lineare Involution eine [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]], die Darstellungen der <math>\Z_2</math> entsprechen also den Spiegelungen an [[Untervektorraum|Untervektorräumen]] beliebiger Dimension.

== ℤ<sub>2</sub> als Körper ==
Die Gruppe <math>\Z_2 = \{0,1\}</math> mit der oben angegebenen Verknüpfung + ist die additive Gruppe eines [[Körper (Algebra)|Körpers]]. Die dazu nötige [[Multiplikation#Rechengesetze|Multiplikation]] auf <math>\Z_2</math> ist durch die Verknüpfungstafel

{| class="wikitable" align="center" style="text-align:center;"
! class="hintergrundfarbe6" | <math>\cdot</math>
! class="hintergrundfarbe6" | 0
! class="hintergrundfarbe6" | 1
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  0
|  0 || 0
|-
! class="hintergrundfarbe6" |  1 
|  0 || 1 
|-
|}

gegeben. Die beiden Verknüpfungen <math>+</math> und <math>\cdot</math> zusammen machen <math>\Z_2</math> zu einem Körper, den man dann nach dem englischen Wort ''field'' für Körper gerne mit <math>F_2</math> oder <math>\mathbb{F}_2</math> bezeichnet.

Es ist zu beachten, dass <math>\Z_2</math> zusammen mit dieser Multiplikation keine Gruppe bildet, da es für 0 kein [[inverses Element]] gibt. 

== Siehe auch ==
* [[Liste kleiner Gruppen]]

== Weblinks ==
* [https://web.archive.org/web/20210509214519/http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra/kleinegruppen.html Gruppen kleiner Ordnung], Archivlink abgerufen am 18. Februar 2025

[[Kategorie:Endliche einfache Gruppe]]