Quelltext der Seite Teilerfunktion

{| class="wikitable" style="text-align:right; float:right"
|+ Die ersten Werte von &sigma;<sub>0</sub> ... &sigma;<sub>4</sub>
! n !! = !! &sigma;<sub>0</sub>(n)!! &sigma;<sub>1</sub>(n)!! &sigma;<sub>2</sub>(n)!! &sigma;<sub>3</sub>(n)!! &sigma;<sub>4</sub>(n)
|-
| 1||style='text-align:center;'| 1|| 1|| 1|| 1|| 1|| 1
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 2||style='text-align:center;'| 2|| 2|| 3|| 5|| 9|| 17
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 3||style='text-align:center;'| 3|| 2|| 4|| 10|| 28|| 82
|-
| 4||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>|| 3|| 7|| 21|| 73|| 273
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 5||style='text-align:center;'| 5|| 2|| 6|| 26|| 126|| 626
|-
| 6||style='text-align:center;'| 2&#x2027;3|| 4|| 12|| 50|| 252|| 1394
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 7||style='text-align:center;'| 7|| 2|| 8|| 50|| 344|| 2402
|-
| 8||style='text-align:center;'| 2<sup>3</sup>|| 4|| 15|| 85|| 585|| 4369
|-
| 9||style='text-align:center;'| 3<sup>2</sup>|| 3|| 13|| 91|| 757|| 6643
|-
| 10||style='text-align:center;'| 2&#x2027;5|| 4|| 18|| 130|| 1134|| 10642
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 11||style='text-align:center;'| 11|| 2|| 12|| 122|| 1332|| 14642
|-
| 12||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>&#x2027;3|| 6|| 28|| 210|| 2044|| 22386
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 13||style='text-align:center;'| 13|| 2|| 14|| 170|| 2198|| 28562
|-
| 14||style='text-align:center;'| 2&#x2027;7|| 4|| 24|| 250|| 3096|| 40834
|-
| 15||style='text-align:center;'| 3&#x2027;5|| 4|| 24|| 260|| 3528|| 51332
|-
| 16||style='text-align:center;'| 2<sup>4</sup>|| 5|| 31|| 341|| 4681|| 69905
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 17||style='text-align:center;'| 17|| 2|| 18|| 290|| 4914|| 83522
|-
| 18||style='text-align:center;'| 2&#x2027;3<sup>2</sup>|| 6|| 39|| 455|| 6813|| 112931
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 19||style='text-align:center;'| 19|| 2|| 20|| 362|| 6860|| 130322
|-
| 20||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>&#x2027;5|| 6|| 42|| 546|| 9198|| 170898
|-
| 21||style='text-align:center;'| 3&#x2027;7|| 4|| 32|| 500|| 9632|| 196964
|-
| 22||style='text-align:center;'| 2&#x2027;11|| 4|| 36|| 610|| 11988|| 248914
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 23||style='text-align:center;'| 23|| 2|| 24|| 530|| 12168|| 279842
|-
| 24||style='text-align:center;'| 2<sup>3</sup>&#x2027;3|| 8|| 60|| 850|| 16380|| 358258
|-
| 25||style='text-align:center;'| 5<sup>2</sup>|| 3|| 31|| 651|| 15751|| 391251
|-
| 26||style='text-align:center;'| 2&#x2027;13|| 4|| 42|| 850|| 19782|| 485554
|-
| 27||style='text-align:center;'| 3<sup>3</sup>|| 4|| 40|| 820|| 20440|| 538084
|-
| 28||style='text-align:center;'| 2<sup>2</sup>&#x2027;7|| 6|| 56|| 1050|| 25112|| 655746
|-style="background-color:#ddeeff;"
| 29||style='text-align:center;'| 29|| 2|| 30|| 842|| 24390|| 707282
|-
| 30||style='text-align:center;'| 2&#x2027;3&#x2027;5|| 8|| 72|| 1300|| 31752|| 872644
|}
In der [[Zahlentheorie]] ist die '''Teilerfunktion''' die Funktion, die einer [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahl]] die Summe ihrer [[Teilbarkeit|Teiler]], erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.<ref>{{MathWorld|DivisorFunction|Divisor Function}}</ref> Sie wird üblicherweise mit dem [[Sigma|griechischen Buchstaben <math> \sigma </math>]] bezeichnet.

== Definition ==
Für eine natürliche Zahl <math>n</math> ist definiert:
:<math>\sigma_k(n) := \sum_{d|n}d^k</math>.
Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von <math>n</math>, einschließlich <math>1</math> und <math>n</math>.
Beispielsweise ist demnach <math>\sigma_2(6) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 6^2 = 50.</math>

== Spezialisierungen ==
* <math>d := \sigma_0</math> ist die [[Teileranzahlfunktion]],
* <math>\sigma :=\sigma_1</math> ist die [[Teilersumme]].

== Eigenschaften ==
[[Datei:Sigma 1.svg|350px|mini|Werte und durchschnittliche Größenordnung von &sigma;<sub>1</sub>]]
[[Datei:Sigma 2.svg|350px|mini|Werte und durchschnittliche Größenordnung von &sigma;<sub>2</sub>]]
[[Datei:Sigma 3.svg|350px|mini|Werte und durchschnittliche Größenordnung von &sigma;<sub>3</sub>]]
* <math>\sigma_k</math> ist [[multiplikative Funktion|multiplikativ]], das heißt, für [[Teilerfremdheit|teilerfremde]] <math>n,m</math> gilt: <math>\sigma_k(n\cdot m) = \sigma_k(n)\cdot\sigma_k(m)</math>.
* Hat <math>n</math> die [[Primfaktorzerlegung]] <math>n=\prod_{i=1}^r{p_i^{e_i}}</math>, so ist
** <math>\sigma_k(n)=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{e_i}{p_i^{jk}}</math>,
** <math>\sigma_k(n)=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{k(e_i+1)}-1}{p_i^k-1}</math> für <math>k>0</math>, und für &nbsp;<math>k=0</math> gilt:&nbsp;<math>\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r(e_i+1) </math>.
* Die [[durchschnittliche Größenordnung]] von <math>\sigma_k</math> für <math>k > 0 </math> ist <math>\sigma_k(n) \sim \zeta(k+1)n^k</math>, mit der [[Riemannsche Zetafunktion|Riemannschen Zetafunktion]] <math>\zeta(s)</math>.<ref>{{Literatur |Autor=E. Krätzel |Titel=Zahlentheorie |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1981 |Seiten=134}}</ref>
* Die [[durchschnittliche Größenordnung]] der [[Teileranzahlfunktion]] <math>d(n) := \sigma_0(n) </math> ist <math>\ln n</math>. Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten <math>C</math>
:<math>\sum_{x\leq n} d(x) = n \ln n + (2C-1) n + O(\sqrt n)</math>.

== Reihenformeln ==
Speziell für <math>\sigma_0</math> gilt:
:<math> \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) = \sum_{i=1}^n \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor </math>
Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als <math> \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor </math> schreibt: Wenn man nun <math>n</math> durch <math>n+1</math> substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die <math>n+1</math> teilen.

Zwei [[Dirichletreihe]]n mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)<ref>{{Literatur | Autor=[[Godfrey Harold Hardy]], E. M. Wright| Titel=Einführung in die Zahlentheorie | Verlag=R. Oldenbourg | Ort=München | Jahr=1958| Seiten=285, 292}}</ref>
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)</math>&nbsp; für&nbsp; <math> s>1,\; s>a+1,</math>
was speziell für ''d''(''n'')&nbsp;=&nbsp;''&sigma;''<sub>0</sub>(''n'') ergibt:
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s) </math> &nbsp;für &nbsp;<math> s>1</math>
und (S. 292, Satz 305)
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.</math>

Eine [[Lambert-Reihe]] mit der Teilerfunktion ist:
:<math>\sum_{n=1}^\infty\sigma_a(n) q^n = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty n^a q^{kn} = \sum_{n=1}^\infty n^a\frac{ q^n}{1-q^n}</math>
für beliebiges [[komplexe Zahl|komplexes]] |''q''|&nbsp;≤&nbsp;1 und&nbsp;''a''.

Die Teilerfunktion lässt sich für <math>k>0</math> mittels [[Ramanujansumme]]n auch explizit als Reihe darstellen:<ref>{{Literatur |Autor=E. Krätzel |Titel=Zahlentheorie |Verlag=VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1981 |Seiten=130}}</ref>
:<math>\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k\sum_{m=1}^\infty \frac {c_m(n)}{m^{k+1}}.</math>
Die Berechnung der ersten Werte von <math>c_m(n)</math> zeigt das Schwanken um den „[[Mittelwert]]“ <math>\zeta(k+1)n^k</math>:
:<math>\sigma_k(n) = \zeta(k+1)n^k \left[ 1 + \frac{(-1)^n}{2^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {2\pi n}{3}}{3^{k+1}} + \frac{2\cos\frac {\pi n}{2}}{4^{k+1}} + \cdots\right]</math>

== Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen ==
Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von [[Eisensteinreihe]]n von Gewicht <math> k\geq 4</math>, gerade, sind die Teilerfunktionen <math>\sigma_{k-1}</math>. Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger [[Faltung (Mathematik)|Faltungen]] von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>:<ref>{{Literatur |Autor=Tom M. Apostol |Titel=Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1990 |Auflage=2.|Seiten=140}} </ref>
:<math>120 \sum_{m=1}^{n-1} \sigma_3(m)\sigma_3(n-m)=\sigma_7(n)-\sigma_3(n),</math>
:<math>5040\sum_{m=1}^{n-1}\sigma_3(m)\sigma_5(n-m)=11\sigma_9(n)-21\sigma_5(n)+10\sigma_3(n).</math>

== Siehe auch ==
* [[Hochzusammengesetzte Zahl]]

== Quellen ==

<references />

[[Kategorie:Zahlentheoretische Funktion]]