Quelltext der Seite Studentsche t-Verteilung

{{SEITENTITEL:Studentsche ''t-''Verteilung}}
[[Datei:T-distribution.png|mini|400px|Dichten von <math>t</math>-verteilten Zufallsgrößen]]

Die '''studentsche ''t-''Verteilung'''<!-- Sic! Diese Bezeichnung wird bspw. von Prof. Peter Hackl im Buch ''Einführung in die Ökonometrie,'' 2005, verwendet --> (auch '''Student-''t-''Verteilung''' oder kurz '''''t-''Verteilung''') ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]], die 1908 von [[William Sealy Gosset]] entwickelt<ref name="Student1908">{{Literatur |Autor=Student |Titel=The Probable Error of a Mean |Sammelwerk=Biometrika |Band=6 |Nummer=1 |Datum=1908 |Seiten=1–25 |DOI=10.1093/biomet/6.1.1 |JSTOR=2331554}}</ref> und nach seinem [[Pseudonym]] ''Student'' benannt wurde.<ref name="Bleymueller2004">{{Literatur |Autor=Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher |Titel=Statistik für Wirtschaftswissenschaftler |Auflage=14. |Verlag=Vahlen |Datum=2004 |ISBN=3-8006-3115-6 |Seiten=16}}</ref>

Gosset hatte festgestellt, dass die [[Standardisierung (Statistik)|standardisierte]] [[Schätzfunktion]] des Stichproben-Mittelwerts [[Normalverteilung|normalverteilter]] Daten nicht mehr normalverteilt, sondern <math>t</math>-verteilt ist, wenn die zur [[Standardisierung (Statistik)|Standardisierung]] des Mittelwerts benötigte [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] des Merkmals unbekannt ist und mit der [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]] geschätzt werden muss. Seine <math>t</math>-Verteilung erlaubt – insbesondere für kleine Stichprobenumfänge – die Berechnung der Verteilung der ''Differenz vom Mittelwert der Stichprobe zum wahren Mittelwert der [[Grundgesamtheit]].''

Die [[#Tabelle einiger t-Quantile|<math>t</math>-Werte]] hängen vom [[Statistische Signifikanz|Signifikanzniveau]] sowie von der Stichprobengröße <math>n</math> ab und bestimmen das [[Vertrauensintervall]] und damit die Aussagekraft der Schätzung des Mittelwertes. Die <math>t</math>-Verteilung wird mit wachsendem <math>n</math> schmaler und geht für <math>n\to\infty</math> in die Standardnormalverteilung über (siehe Grafik rechts). [[Statistischer Test|Hypothesentests]], bei denen die <math>t</math>-Verteilung Verwendung findet, bezeichnet man als [[T-Test|''t''-Tests]].

Die Herleitung wurde erstmals 1908 veröffentlicht,<ref name="Student1908" /> als Gosset in der [[Dublin]]er [[Guinness-Brauerei]] arbeitete. Da sein Arbeitgeber die Veröffentlichung nicht gestattete, veröffentlichte Gosset sie unter dem Pseudonym ''Student.'' Der t-Faktor und die zugehörige Theorie wurden erst durch die Arbeiten von [[Ronald Aylmer Fisher|R.&nbsp;A.&nbsp;Fisher]] belegt, der die Verteilung ''Student’s distribution'' (Student’sche Verteilung) nannte.

Die <math>t</math>-Verteilung kommt allerdings auch schon in früheren Publikationen anderer Autoren vor. Zuerst wurde sie 1876 von [[Jacob Lüroth]] als [[A-posteriori-Wahrscheinlichkeit|A-posteriori-Verteilung]] bei der Behandlung eines Problems der [[Ausgleichsrechnung]] hergeleitet, 1883 in einem ähnlichen Zusammenhang von [[Francis Ysidro Edgeworth|Edgeworth]]<ref>{{Literatur |Autor=[[Johann Pfanzagl|J. Pfanzagl]], O. Sheynin |Titel=A forerunner of the ''t''-distribution  (Studies in the history of probability and statistics XLIV) |Sammelwerk=Biometrika |Band=83 |Nummer=4 |Datum=1996 |Seiten=891–898 |DOI=10.1093/biomet/83.4.891}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=P. Gorroochurn |Titel=Classic Topics on the History of Modern Mathematical Statistics from Laplace to More Recent Times |Verlag=Wiley |Datum=2016 |DOI=10.1002/9781119127963}}</ref>.

== Definition ==
Eine stetige Zufallsvariable <math>X</math> genügt der ''studentschen <math>t</math>-Verteilung mit <math>n>0</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]],''
wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f_n(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} {\sqrt{n\pi}~\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^{2}}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\quad \mathrm{f \ddot ur}\quad -\infty < x < +\infty</math>

besitzt. Dabei ist
:<math>\Gamma(x)=\int\limits_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\operatorname{d}t</math>
die [[Gammafunktion]]. Für natürliche Zahlen <math>n</math> gilt insbesondere (hierbei bezeichnet <math>n!</math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math>n</math>)
:<math>\Gamma(n+1)=n!,\quad \Gamma\left(n+\tfrac12\right) = \frac{(2n)!}{n!\,4^n}\,\sqrt{\pi}.</math>

Alternativ lässt sich die <math>t</math>-Verteilung mit <math>n</math> Freiheitsgraden auch definieren als die Verteilung der Größe

:<math>t_n\equiv\frac{Z}{\sqrt{\chi_n^2/n}}</math>,

wobei <math>Z</math> eine [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilte]] [[Zufallsvariable]] und <math>\chi_n^2</math> eine von <math>Z</math> unabhängige [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilte]] Zufallsvariable mit <math>n</math> Freiheitsgraden ist.

== Verteilung ==
Die [[Verteilungsfunktion]] lässt sich geschlossen ausdrücken als
: <math>F_n(t)= I \left( \frac{t+\sqrt{t^2+n}}{2\sqrt{t^2+n}},\frac{n}{2},\frac{n}{2} \right)</math>
oder als
: <math>F_n(t)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{t}{|t|} I \left( \frac{t^2}{t^2+n},\frac{1}{2},\frac{n}{2}\right)\right)</math>
mit
: <math>I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)} \int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t,</math>
wobei <math>B</math> die [[Eulersche Betafunktion|Betafunktion]] darstellt.

<math>F_n(t)</math> berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gemäß <math>f_n(x)</math> verteilte Zufallsvariable <math>X</math> einen Wert kleiner oder gleich <math>t</math> erhält.

== Eigenschaften ==
Es sei <math>X</math> eine <math>t</math>-verteilte Zufallsvariable mit <math>n</math> Freiheitsgraden und Dichte <math>f_n(x)</math>.

=== Wendepunkte ===
Die Dichte besitzt [[Wendepunkte]] bei
: <math>x=\pm\,\sqrt{\frac{n}{n+2}}.</math>

=== Median ===
Der [[Median (Stochastik)|Median]] ist
: <math>\tilde{x}=0.</math>

=== Modus ===
Der [[Modus (Stochastik)|Modus]] ergibt sich zu
: <math>x_D=0.</math>

=== Symmetrie ===
Die Studentsche <math>t</math>-Verteilung ist [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] um die 0.

=== Erwartungswert ===
Für den [[Erwartungswert]] erhält man für <math>n>1</math>
: <math>\operatorname{E}(X)=0.</math>
Der Erwartungswert für <math>n=1</math> existiert nicht.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ergibt sich für <math>n>2</math> zu
: <math>\operatorname{Var}(X)=\frac{n}{n-2}.</math>

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ist für <math>n>3</math>
: <math>\operatorname{v}(X)=0.</math>

=== Wölbungen ===
Für die Kurtosis-[[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] <math>\beta_2</math> und die Exzess-[[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] <math>\gamma_2</math> erhält man für <math>n>4</math>
:<math>\operatorname{\beta_2}(X)=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{3n-6}{n-4},\qquad
\operatorname{\gamma_2}(X)=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}-3=\frac{6}{n-4}.</math>

=== Momente ===
Für die <math>k</math>-ten [[Moment (Stochastik)|Momente]] <math>m_k=\operatorname{E}(X^k)</math> und die <math>k</math>-ten zentralen Momente <math>\mu_k=\operatorname{E}([X-\operatorname{E}(X)]^k)</math> gilt:

: <math>m_k=\mu_k=0, \text{ falls } n>k \text{ und } k \text{ ungerade}</math>

:<math>m_k=\mu_k=n^{k/2}\cdot\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\dotsm(k-1)}{(n-2)\cdot(n-4)\cdot(n-6)\dotsm(n-k)},
\text{ falls } n>k \text{ und } k \text{ gerade}</math>

=== Beziehung zur Betaverteilung ===
Das Integral
: <math>\int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t</math>
ist die [[Beta-Verteilung|unvollständige Betafunktion]]
: <math>B(z;a,b),</math>
wobei
: <math>B(a,b)=B(1;a,b)</math> den Zusammenhang zur vollständigen Betafunktion herstellt. Dann ist für <math>t>0</math>

: <math>F_n(t) = \tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{2}I(z,\tfrac{1}{2},\tfrac{n}{2})=\tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{2} \frac{ B(z_t;\tfrac{1}{2},\tfrac{n}{2}) }{ B(1;\tfrac{1}{2},\tfrac{n}{2}) }</math>
mit
: <math>z_t=\frac{t^2}{t^2+n}.</math>
Wenn t gegen unendlich geht, strebt <math>z_t</math> gegen 1. Im Grenzfall steht im Zähler und Nenner obigen Bruches also dasselbe, das heißt, man erhält:

: <math>F_n(t) = \tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{2}I(z_t,\tfrac{1}{2},\tfrac{n}{2}) \rightarrow \tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{2} =1</math>

== Nichtzentrale ''t-''Verteilung ==
Die Größe
: <math>\frac{Z+\delta}{\sqrt{\chi_n^2/n}}</math>

mit <math>Z \sim\mathcal{N}(0,1)</math> und <math>\delta</math> als [[Nichtzentralitätsparameter]] folgt der sogenannten ''nichtzentralen <math>t</math>-Verteilung.''<ref>N. L. Johnson, B. L. Welch: ''Applications of the Non-Central t-Distribution.'' In: ''Biometrika.'' Vol. 31, No. 3/4 (Mar. 1940), S.&nbsp;362–389, {{JSTOR|2332616}} {{DOI|10.1093/biomet/31.3-4.362}}.</ref> Diese Verteilung wird vor allem zur Bestimmung des [[β-Fehler]]s bei [[Hypothesentest]]s mit <math>t</math>-verteilter [[Prüfgröße]] verwendet. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte lautet:<ref>{{MathWorld |id=NoncentralStudentst-Distribution |title=Noncentral Student’s t-Distribution}}</ref>

: <math>f(x)=\frac{n^{n/2}n!e^{-\delta^2/2}} {2^n\Gamma\left(n/2\right)(x^2+n)^{(n+1)/2}}\left(\frac{\sqrt{2}\delta x}{\sqrt{x^2+n}}\frac{_1\mathcal F_1\left(n/2+1,3/2,\frac{(\delta x)^2}{2(x^2+n)}\right)}{\Gamma\left((n+1)/2\right)}+\frac{_1\mathcal F_1\left((n+1)/2,1/2,\frac{(\delta x)^2}{2(x^2+n)}\right)}{\Gamma\left(n/2+1\right)}\right)</math>

[[Datei:Non central t-distributions.svg|mini|Einige Dichten von nichtzentralen <math>t</math>-Verteilungen]]
Die Klammer mit der Summe [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|hypergeometrischer Funktionen]] lässt sich noch etwas einfacher schreiben,<ref>''[http://functions.wolfram.com/05.01.26.0002.01 HermiteH.]'' Bei: ''functions.wolfram.com.''</ref> sodass ein kürzerer alternativer Ausdruck für die Dichte entsteht:
:<math>f(x)=\frac{2^n n^{n/2+1}\Gamma\left((n+1)/2\right)} {\pi(x^2+n)^{(n+1)/2}}e^{-\delta^2/2}H_{-n-1}\left(-\frac{\delta x}{\sqrt{2}\sqrt{x^2+n}}\right),</math>
wobei <math>H_{-n-1}\left(z\right)</math> ein [[Hermitesches Polynom#Index mit negativem Wert|Hermitesches Polynom]] mit negativem Index darstellt mit <math>H_{-n-1}\left(0\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{n+1}\Gamma\left(n/2+1\right)}</math>.

Der Erwartungswert liegt für <math>n>1</math> bei
:<math>\frac{\delta\sqrt{n}\Gamma\left((n-1)/2\right)}{\sqrt{2}\Gamma\left(n/2\right)}</math>

und die Varianz (für <math>n>2</math>) bei
:<math>\frac{(1+\delta^2)n}{n-2}-\frac{\delta^2 n\Gamma\left((n-1)/2\right)^2}{2\Gamma\left(n/2\right)^2}.</math>

Mit <math>\delta=0</math> erhält man die Kennwerte der zentralen <math>t</math>-Verteilung.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Cauchy-Verteilung ===
Für <math>n=1</math> und mit <math>\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}</math> ergibt sich die [[Cauchy-Verteilung]] als Spezialfall aus der Studentschen <math>t</math>-Verteilung.

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung und Standardnormalverteilung ===
Die <math>t</math>-Verteilung beschreibt die Verteilung eines Ausdruckes

: <math>t_n\equiv\frac{\mathcal{N}(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi_n^2}{n}}},</math>

wobei <math>\mathcal{N}(0,1)</math> eine [[Standardnormalverteilung|standardnormalverteilte]] und <math>\chi_n^2</math> eine [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilte]] Zufallsvariable mit <math>n</math> Freiheitsgraden bedeutet. Die Zählervariable muss unabhängig von der Nennervariable sein. Die Dichtefunktion der <math>t</math>-Verteilung ist dann symmetrisch bezüglich ihres Erwartungswertes <math>0</math>. Die Werte der Verteilungsfunktion liegen in der Regel tabelliert vor.

=== Verteilung mit schweren Rändern ===
Die Verteilung gehört zu den [[Verteilung mit schweren Rändern|Verteilungen mit schweren Rändern]].

=== Näherung durch die Normalverteilung ===
Mit steigender Zahl von Freiheitsgraden kann man die Verteilungswerte der <math>t</math>-Verteilung mit Hilfe der Normalverteilung annähern. Als Faustregel gilt, dass ab 30 Freiheitsgraden die <math>t</math>-Verteilungsfunktion durch die Normalverteilung approximiert werden kann.

== Verwendung in der mathematischen Statistik ==
Verschiedene [[Schätzfunktion]]en sind <math>t</math>-verteilt.

Wenn die unabhängigen Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_n</math> identisch normalverteilt sind mit Erwartungswert <math>\mu </math> und Standardabweichung <math>\sigma </math>, kann bewiesen werden, dass der [[Stichprobenmittelwert]]
: <math>\overline{X}=\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i</math>
und die [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianz]]
: <math>S^2=\frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2</math>
[[Stochastisch unabhängige Ereignisse|stochastisch unabhängig]] sind.

Weil die Zufallsgröße <math>\tfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}</math> eine Standardnormalverteilung hat und <math>(n-1)\, S^2/\sigma^2</math> einer [[Chi-Quadrat-Verteilung#Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz|Chi-Quadrat-Verteilung mit <math>n-1</math> Freiheitsgraden]] folgt, ergibt sich, dass die Größe
: <math>t_{n-1}=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\cdot\frac\sigma\sigma=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\cdot\frac\sigma S=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}/\left(\frac S\sigma\right)=
\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}/\sqrt{\chi_{n-1}^2/(n-1)}</math>
nach [[#Definition|Definition]] <math>t</math>-verteilt ist mit <math>n-1</math> Freiheitsgraden.

Also ist der Abstand des gemessenen Mittelwertes vom Mittelwert der Grundgesamtheit verteilt wie <math>t_{n-1} S/\sqrt{n}</math>. Damit berechnet man dann das 95-%-[[Konfidenzintervall]] für den Mittelwert <math>\mu</math> zu
: <math>\overline{x}-t \cdot S/\sqrt{n} \leq \mu \leq \overline{x}+t \cdot S/\sqrt{n},</math>
wobei der Wert für <math>t</math> implizit durch <math>F_{n-1}(t)=0{,}975</math> bestimmt ist, wobei <math>F_{n-1}</math> die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bezeichnet, die <math>t</math>-verteilt ist mit <math>n-1</math> Freiheitsgraden. Dieses Intervall ist für <math>n < \infty</math> etwas größer als dasjenige, welches sich mit bekanntem <math>\sigma</math> aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung bei gleichem Konfidenzniveau ergeben hätte <math>\left( \mu \in \left[\overline{x}\pm 1{,}96 \cdot \tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\right)</math>.

== Herleitung der Dichte ==
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der <math>t</math>-Verteilung lässt sich herleiten aus der gemeinsamen Dichte der beiden unabhängigen Zufallsvariablen <math>Z</math> und <math>\chi^2_n</math>, die standardnormal beziehungsweise Chi-Quadrat-verteilt sind:<ref>Frodesen, Skjeggestad, Tofte: ''Probability and Statistics in Particle Physics.'' Universitetsforlaget, Bergen/Oslo/Tromsø, S.&nbsp;141.</ref>
: <math>
f_{Z,\chi^2_n}(z,y)= \frac{e^{-\frac 12z^2}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac 12y}}{2^\frac n2\Gamma(\frac n2)}
</math>

Mit der Transformation
: <math>
t=z/\sqrt{y/n},v=y
</math>

bekommt man die gemeinsame Dichte von <math>T=Z/\sqrt{\chi^2_n/n}</math> und <math>\chi^2_n</math>, wobei <math>-\infty < t < \infty</math> und <math>0\leq v < \infty</math>.

Die [[Jacobideterminante]] dieser Transformation ist:
: <math>\det\frac{\partial(z,y)}{\partial(t,v)}=\begin{vmatrix}
     \sqrt{\frac{v}{n}}&0\\
     \Diamond&1
\end{vmatrix}=\sqrt{\frac{v}{n}}</math>

Der Wert <math>\Diamond</math> ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue Dichtefunktion schreibt sich also
: <math>
f_{T,\chi^2_n}(t,v)=\frac{e^{-\frac 12 v \frac{t^2}n}}{\sqrt{2\pi}} \cdot \frac{1}{2^\frac n2 \Gamma(\frac n2)}v^{\frac n2-1}e^{-\frac 12v}\cdot\sqrt{\frac{v}{n}}.
</math>

Gesucht ist nun die [[Randverteilung]] <math>f_n(t)</math> als [[Gammafunktion|Integral]] über die nicht interessierende Variable <math>v</math>:
: <math>
f_n(t)=\int\limits_{0}^\infty f_{T,\chi^2_n}(t,v)\,dv=\frac{1}{\sqrt{n\pi}\,2^{(n+1)/2}\Gamma(n/2)} \int\limits_{0}^\infty v^{(n-1)/2}e^{-v(1+t^2/n)/2}\,dv=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} {\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{t^{2}}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
</math>

== Ausgewählte Quantile der ''t''-Verteilung ==
Tabelliert sind <math>t</math>-Werte für verschiedene Freiheitsgrade <math>n</math> und gebräuchliche Wahrscheinlichkeiten <math>P</math> (0,75 bis 0,999), wofür gilt:

: <math>P_{\text{einseitig}}=F_n(t)=P(T_n\leq t)</math>

Aufgrund der Spiegelsymmetrie der Dichte braucht man für den Fall des beidseitig symmetrisch begrenzten Intervalls nur die Wahrscheinlichkeitsskala anzupassen. Dabei verringern sich die Wahrscheinlichkeiten bei gleichem <math>t</math>, denn das Integrationsintervall wird durch Wegschneiden des Bereichs von <math>-\infty</math> bis <math>- t</math> reduziert:

: <math>P_{\text{zweiseitig}}=F_n(t)-F_n(-t)=P(-t<T_n\leq t)=2P_{\text{einseitig}}-1</math>

Werden bei einer Stichprobe <math>N</math> Beobachtungen durchgeführt und aus der Stichprobe <math>m</math> Parameter geschätzt, so ist <math>n=N-m</math> die Anzahl der Freiheitsgrade.

Zu der Anzahl von Freiheitsgraden <math>n</math> in der ersten Spalte und dem Signifikanzniveau <math>\alpha</math> (dargestellt als <math>1-\alpha</math> in der zweiten Zeile) wird in jeder Zelle der folgenden Tabelle der Wert des (einseitigen) Quantils <math>t_{n,\alpha}</math>, entsprechend DIN 1319-3, angegeben. Dies erfüllt für die Dichte <math>f_n</math> der <math>t_n</math>-Verteilung die folgenden Gleichungen:

: Einseitig: <math>\int_{-\infty}^{t_{n,\alpha}}f_n(x)\,\mathrm{d}x=1-\alpha</math>

: Zweiseitig: <math>\int_{-t_{n,\alpha/2}}^{t_{n,\alpha/2}}f_n(x)\,\mathrm{d}x=1-\alpha</math>
Also findet man beispielsweise mit <math>n = 4</math> und <math>\alpha = 0{,}05</math> die <math>t</math>-Werte von 2,776 (zweiseitig) oder 2,132 (einseitig).

Die Quantilfunktion der <math>t</math>-Verteilung <math>x_p</math> ist die Lösung der Gleichung <math>p=F(x_p|m,\,n)</math> und damit prinzipiell über die [[Umkehrfunktion]] zu berechnen. Konkret gilt hier
:<math>x_p=\frac{\sqrt{n}\left(2 I^{-1}(p,\frac n2,\frac n2)-1\right)}{2\sqrt{\left(1-I^{-1}(p,\frac n2,\frac n2)\right) \cdot I^{-1}(p,\frac n2,\frac n2)}}</math>

mit <math>I^{-1}</math> als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert <math>x_p</math> ist in der [[Quantiltabelle]] unter den Koordinaten p und n eingetragen.

Für wenige Werte <math>n</math> (1,2,4) vereinfacht sich die Quantilfunktion:<ref>{{cite journal |author=W. T. Shaw |year=2006 |title=Sampling Student’s T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function |journal=Journal of Computational Finance |volume=9 |issue=4 |pages=37–73 |doi=10.21314/JCF.2006.150}}</ref>
: <math>n=1: x_p=\operatorname{tan} (\pi(p-1/2))</math>

: <math>n=2: x_p=(p-1/2)\sqrt{\frac{2}{ p(1-p)}}</math>

: <math>n=4: x_p=\sqrt{\frac{2\cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left(2 \sqrt{p(1-p)} \, \right) \right)}{\sqrt{p(1-p)}}-4}</math>

=== Tabelle einiger ''t''-Quantile ===
{{Hauptartikel|Quantiltabelle}}
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
!rowspan="4"| Anzahl<br /> Freiheitsgrade<br />''n''
!colspan="8"| ''P'' für zweiseitigen Vertrauensbereich
|-
! 0,5
! 0,75
! 0,8
! 0,9
! 0,95
! 0,98
! 0,99
! 0,998
|-
!colspan="8"| ''P'' für einseitigen Vertrauensbereich
|-
! 0,75
! 0,875
! 0,90
! 0,95
! 0,975
! 0,99
! 0,995
! 0,999
|-
| 1
| 1,000
| 2,414
| 3,078
| 6,314
| 12,706
| 31,821
| 63,657
| 318,309
|-
| 2
| 0,816
| 1,604
| 1,886
| 2,920
| 4,303
| 6,965
| 9,925
| 22,327
|-
| 3
| 0,765
| 1,423
| 1,638
| 2,353
| 3,182
| 4,541
| 5,841
| 10,215
|-
| 4
| 0,741
| 1,344
| 1,533
| 2,132
| 2,776
| 3,747
| 4,604
| 7,173
|-
| 5
| 0,727
| 1,301
| 1,476
| 2,015
| 2,571
| 3,365
| 4,032
| 5,893
|-
| 6
| 0,718
| 1,273
| 1,440
| 1,943
| 2,447
| 3,143
| 3,707
| 5,208
|-
| 7
| 0,711
| 1,254
| 1,415
| 1,895
| 2,365
| 2,998
| 3,499
| 4,785
|-
| 8
| 0,706
| 1,240
| 1,397
| 1,860
| 2,306
| 2,896
| 3,355
| 4,501
|-
| 9
| 0,703
| 1,230
| 1,383
| 1,833
| 2,262
| 2,821
| 3,250
| 4,297
|-
| 10
| 0,700
| 1,221
| 1,372
| 1,812
| 2,228
| 2,764
| 3,169
| 4,144
|-
| 11
| 0,697
| 1,214
| 1,363
| 1,796
| 2,201
| 2,718
| 3,106
| 4,025
|-
| 12
| 0,695
| 1,209
| 1,356
| 1,782
| 2,179
| 2,681
| 3,055
| 3,930
|-
| 13
| 0,694
| 1,204
| 1,350
| 1,771
| 2,160
| 2,650
| 3,012
| 3,852
|-
| 14
| 0,692
| 1,200
| 1,345
| 1,761
| 2,145
| 2,624
| 2,977
| 3,787
|-
| 15
| 0,691
| 1,197
| 1,341
| 1,753
| 2,131
| 2,602
| 2,947
| 3,733
|-
| 16
| 0,690
| 1,194
| 1,337
| 1,746
| 2,120
| 2,583
| 2,921
| 3,686
|-
| 17
| 0,689
| 1,191
| 1,333
| 1,740
| 2,110
| 2,567
| 2,898
| 3,646
|-
| 18
| 0,688
| 1,189
| 1,330
| 1,734
| 2,101
| 2,552
| 2,878
| 3,610
|-
| 19
| 0,688
| 1,187
| 1,328
| 1,729
| 2,093
| 2,539
| 2,861
| 3,579
|-
| 20
| 0,687
| 1,185
| 1,325
| 1,725
| 2,086
| 2,528
| 2,845
| 3,552
|-
| 21
| 0,686
| 1,183
| 1,323
| 1,721
| 2,080
| 2,518
| 2,831
| 3,527
|-
| 22
| 0,686
| 1,182
| 1,321
| 1,717
| 2,074
| 2,508
| 2,819
| 3,505
|-
| 23
| 0,685
| 1,180
| 1,319
| 1,714
| 2,069
| 2,500
| 2,807
| 3,485
|-
| 24
| 0,685
| 1,179
| 1,318
| 1,711
| 2,064
| 2,492
| 2,797
| 3,467
|-
| 25
| 0,684
| 1,178
| 1,316
| 1,708
| 2,060
| 2,485
| 2,787
| 3,450
|-
| 26
| 0,684
| 1,177
| 1,315
| 1,706
| 2,056
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| 2,779
| 3,435
|-
| 27
| 0,684
| 1,176
| 1,314
| 1,703
| 2,052
| 2,473
| 2,771
| 3,421
|-
| 28
| 0,683
| 1,175
| 1,313
| 1,701
| 2,048
| 2,467
| 2,763
| 3,408
|-
| 29
| 0,683
| 1,174
| 1,311
| 1,699
| 2,045
| 2,462
| 2,756
| 3,396
|-
| 30
| 0,683
| 1,173
| 1,310
| 1,697
| 2,042
| 2,457
| 2,750
| 3,385
|-
|colspan="9"| <!-- Diese Leerzeile weist auf den Bruch von 1er-Schritten zu 10er-Schritten hin.-->
|-
| 40
| 0,681
| 1,167
| 1,303
| 1,684
| 2,021
| 2,423
| 2,704
| 3,307
|-
| 50
| 0,679
| 1,164
| 1,299
| 1,676
| 2,009
| 2,403
| 2,678
| 3,261
|-
| 60
| 0,679
| 1,162
| 1,296
| 1,671
| 2,000
| 2,390
| 2,660
| 3,232
|-
| 70
| 0,678
| 1,160
| 1,294
| 1,667
| 1,994
| 2,381
| 2,648
| 3,211
|-
| 80
| 0,678
| 1,159
| 1,292
| 1,664
| 1,990
| 2,374
| 2,639
| 3,195
|-
| 90
| 0,677
| 1,158
| 1,291
| 1,662
| 1,987
| 2,368
| 2,632
| 3,183
|-
| 100
| 0,677
| 1,157
| 1,290
| 1,660
| 1,984
| 2,364
| 2,626
| 3,174
|-
|colspan="9"| <!-- Diese Leerzeile weist auf den Bruch von 10er-Schritten zu 100er-Schritten hin.-->
|-
| 200
| 0,676
| 1,154
| 1,286
| 1,653
| 1,972
| 2,345
| 2,601
| 3,131
|-
| 300
| 0,675
| 1,153
| 1,284
| 1,650
| 1,968
| 2,339
| 2,592
| 3,118
|-
| 400
| 0,675
| 1,152
| 1,284
| 1,649
| 1,966
| 2,336
| 2,588
| 3,111
|-
| 500
| 0,675
| 1,152
| 1,283
| 1,648
| 1,965
| 2,334
| 2,586
| 3,107
|-
|colspan="9"| <!-- Diese Leerzeile weist auf den Bruch von 100er-Schritten zu Unendlich hin.-->
|-
| <math>\infty</math>
| 0,674
| 1,150
| 1,282
| 1,645
| 1,960
| 2,326
| 2,576
| 3,090
|}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Student's t-distribution|Studentsche <math>t</math>-Verteilung}}
* [http://matheguru.com/stochastik/t-verteilung-students-t-verteilung.html Interaktiver Graph der <math>t</math>-Verteilung] (mit anschaulicher Erklärung)
* [{{Toter Link |inline=1 |datum=2025-04-22 |url=http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/t.htm}} Webrechner für exakte Werte]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]