Quelltext der Seite Stone-Raum

In der mengentheoretischen [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist ein '''Stone-Raum''' (auch '''proendlicher Raum''', '''proendliche Menge''' oder '''Boolescher Raum''') ein [[Kompakter Raum|kompakt]]er  und [[total unzusammenhängend]]er [[Hausdorff-Raum]].

== Definition ==

Für einen [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>X</math> sind die folgenden Aussagen äquivalent:

* <math>X</math> ist kompakt, Hausdorff und total unzusammenhängend;
* <math>X</math> ist homöomorph zu einem [[projektiver Limes|projektiven Limes]] endlicher [[diskreter Raum|diskreter Räume]] in der Kategorie der topologischen Räume;<ref>Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZY Tag 08ZY]</ref>
* <math>X</math> ist kompakt, [[Kolmogoroff-Raum|T<sub>0</sub>]] und hat [[induktive Dimension]] 0;
* <math>X</math> ist [[spektraler Raum|spektral]] und Hausdorff.<ref>Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/0905 Tag 0905]</ref>

In diesem Fall heißt <math>X</math> '''Stone-Raum'''<ref>Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZX Tag 08ZX]</ref>.

== Beispiele ==

* Ein endlicher topologischer Raum ist genau dann ein Stone-Raum, wenn er diskret ist.
* Für eine [[Primzahl]] <math>p</math> ist der Ring der [[p-adische Zahl|<math>p</math>-adischen ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z_p</math> mit der <math>p</math>-adischen Topologie ein Stone-Raum.
* Die [[Cantor-Menge]] ist ein Stone-Raum.
* Jede [[proendliche Gruppe]] ist ein Stone-Raum.
* Jeder kompakte und [[Extremal unzusammenhängender Raum|extremal unzusammenhängende]] Hausdorff-Raum ist ein Stone-Raum.<ref>Scholze: Warning 2.6</ref>

== Kategorielle Eigenschaften ==

Die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen ist äquivalent zur [[Ind-Objekte und Pro-Objekte|Pro-Kategorie]] der Kategorie der endlichen Mengen. Ein [[Limes (Kategorientheorie)|Limes]] von Stone-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume ist wieder ein Stone-Raum<ref>Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/0ET8 Tag 0ET8]</ref>. Nach dem [[Darstellungssatz für Boolesche Algebren]] ist die Kategorie der Stone-Räume [[Kategorienäquivalenz|antiäquivalent]] zur Kategorie der [[boolesche Algebra|booleschen Algebren]].

== Lokale Stone-Räume ==

Ein topologischer Raum ist ''lokal Stone'' bzw. ''lokal proendlich'', wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die mit der Teilraumtopologie ein Stone-Raum ist. Der Körper <math>\mathbb Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen ist lokal Stone, aber nicht Stone. Typische Beispiele für lokale Stone-Räume sind [[lokal proendliche Gruppe]]n.

== Verdichtete Mathematik ==

Stone-Räume sind die Grundbausteine der [[Verdichtete Mathematik|verdichteten Mathematik]] ({{enS|condensed mathematics}}, deutsch auch ‚kondensierte Mathematik‘ genannt<ref>Davide Castelvecchi: [https://www.spektrum.de/magazin/forschung-aktuell-umbau-der-mathematik-mit-computerunterstuetzung/1914157 Der Umbau der Mathematik mit Computerunterstützung], in: Spektrum Magazin, Oktober 2021, S.&nbsp;21–22, online vom 15. September 2021</ref>). Eine [[verdichtete Menge]] ist eine [[Garbe (Mathematik)|Garbe]] auf einer Kategorie von Stone-Räumen.<ref>Scholze: Def. 1.2, Def. 2.1, Def. 2.11</ref>

== Einzelnachweise ==

<references />

== Literatur ==

* [[Peter Johnstone (Mathematiker)|Peter Johnstone]], ''Stone Spaces'', Cambridge University Press, 1982
* [https://ncatlab.org/nlab/show/Stone+space Stone space] in nlab.
* [[Peter Scholze]] und [[Dustin Clausen]]: [http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf Lectures on Condensed Mathematics]
* Stacks project: [https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZW Tag 08ZW]

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]