Quelltext der Seite Serre-Vermutung

{{Begriffsklärungshinweis|Der [[Satz von Quillen-Suslin]] wird ebenso als Serre-Vermutung bezeichnet.}}
Die '''Serre-Vermutung''' ist ein [[mathematischer Satz]] über [[Galois-Darstellung|Galois-Darstellungen]] und [[Modulform | Modulformen]], der im Jahr 2006 von [[Chandrashekhar Khare]], [[Jean-Pierre Wintenberger]] und [[Mark Kisin]] bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den [[Modularitätssatz]] und damit auch den [[Großer fermatscher Satz | großen Satz von Fermat]]. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von [[Jean-Pierre Serre]] zurück.<ref>Serre, Valeurs propres de opérateurs de Hecke modulo l, Astérisque, Band 24/25, 1975, S. 109–117</ref><ref>Serre, Sur les représentations modulaires de degré 2 de <math>Gal(\overline{\mathbb Q}/ \mathbb Q)</math>, Duke Mathematical Journal, Band 54, 1987, S. 179–230</ref>

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch [[Luis Dieulefait]] 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

== Formulierung ==
Die Vermutung betrifft Darstellungen (''Galois-Darstellungen'') der [[Absolute Galoisgruppe|absoluten Galoisgruppe]] <math>G_\mathbb{Q}</math> der [[rationale Zahl | rationalen Zahlen]] <math>\mathbb{Q}</math>. Die absolute Galoisgruppe enthält alle Galoisgruppen von Automorphismen von algebraischen Zahlkörpern, die als endliche [[Körpererweiterung#Galois-Gruppen|galoissche]] Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen gegeben sind.

Sei <math>\rho</math> eine absolut irreduzible, stetige und ungerade<ref>Ungerade bedeutet, dass das Element der Galoisgruppe, das der komplexen Konjugation entspricht, in der Darstellung durch die Matrix -1 repräsentiert ist</ref> zweidimensionale Darstellung von <math>G_\mathbb{Q}</math> über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]]

:<math>F = \mathbb{F}_{l^r}</math>

der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>l</math>,

:<math> \rho: G_\mathbb{Q} \rightarrow GL_2(F).\ </math>

Nach der Vermutung von Serre wird jede solche Darstellung durch eine Darstellung im Raum der [[Modulform|Spitzenformen]] zur [[Kongruenzuntergruppe]] <math>\Gamma_0 (N)</math> der Stufe <math> N=N(\rho) </math>, Gewicht <math> k=k(\rho) </math>, und Nebentypus<ref>Für die Definition der Begriffe siehe [[Modulform]]</ref>

:<math> \chi : \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \rightarrow F^*\ </math>

festgelegt, wobei Modulformen in Charakteristik <math>l</math> mit Koeffizienten der Fourierentwicklung in <math>F</math> betrachtet werden. Die Wirkung der absoluten Galoisgruppe in dieser Darstellung wird durch die [[Hecke-Operator]]en beschrieben, linearen Abbildungen im Raum der Spitzenformen dieses Typs. Es gibt eine normierte [[Hecke-Eigenform]], sie ist simultane Eigenfunktion aller Heckeoperatoren, mit der Fourierentwicklung

:<math> f = q+a_2q^2+a_3q^3+\cdots\ </math>

Spezielle Elemente der absoluten Galoisgruppe <math>G_\mathbb{Q}</math>, die [[Frobeniushomomorphismus|Frobeniuselemente]]  <math>\operatorname{Frob}_p</math> zur Primzahl p, beinhalten wesentliche Informationen zur Arithmetik der Zahlkörper. Nach der Vermutung von Serre gilt weiter für alle Primzahlen <math>p</math>, [[teilerfremd]] zu <math>N \, l</math>:

:<math> \operatorname{Trace}(\rho(\operatorname{Frob}_p))=a_p\ </math>

und

:<math> \det(\rho(\operatorname{Frob}_p))=p^{k-1} \chi(p).\ </math>

Das heißt, Spur und Determinante – und damit im Wesentlichen die Wirkung der Frobeniusabbildung in der betrachteten Darstellung – werden durch die Hecke-Eigenform festgelegt. Serre vermutete sogar (und zeigte dies explizit an Beispielen), dass sich die Parameter der Darstellung  <math> \rho </math> (Stufe, Gewicht, Nebentypus) explizit berechnen lassen (starke Serre-Vermutung).

Es war bereits sehr lange durch tiefe Sätze von [[Gorō Shimura]], [[Pierre Deligne]], [[Barry Mazur]] und [[Robert Langlands]]<ref>Siehe Theorem 3.26 in {{cite book |title=Modular Forms and Galois cohomology |last=Hida |first=Haruzo |year=2000 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge |language=en}}</ref> bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform <math> f\in S_k(N,\chi) </math> eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

== Literatur ==
Originalarbeiten der Beweise:
*Chandrashekhar Khare: ''Serre's modularity conjecture: The level one case'', Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
*Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: ''Serre’s Modularity Conjecture'', Teil 1,2,  Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485–504, 505–586, [http://www.math.utah.edu/~shekhar/results.pdf Teil I] (PDF-Datei; 344&nbsp;kB), [http://www.math.utah.edu/~shekhar/proofs.pdf Teil II] (PDF-Datei; 974&nbsp;kB)
*Khare, Wintenberger: ''On Serre’s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(<math>\bar {\mathbb{Q}} /\mathbb{Q}</math>)'', Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
*Luis Dieulefait: ''The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture'', Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.
*Mark Kisin: ''Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations'', Inventiones Mathematicae, Band 178, 2009, S. 587–634, [http://www.math.harvard.edu/~kisin/preprints.html Preprints, Kisin]

Zur Serre-Vermutung:
*[[William A. Stein]], [[Ken Ribet]]: ''Lectures on Serre’s conjecture'', in: Brian Conrad, Karl Rubin (Hrsg.), Arithmetical algebraic geometry (Park City 1999), IAS/Park City Lectures 9, American Mathematical Society, 2001, S. 143–232, [http://wstein.org/papers/serre/ribet-stein.pdf pdf]
*[[Gabor Wiese]]: ''Der Zusammenhang zwischen Modulformen und Zahlkörpern'', Essener Unikate Nr. 33, 2007, [http://www.uni-due.de/~bys007/ressourcen/pdf_dokumente/33/EU_33_07.pdf  pdf]
*L. J. P. Kilford: ''Modular forms'', Imperial College Press 2008, Kapitel 6.2 (Galois representations attached to mod p modular forms), S. 152ff

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
*[http://fora.tv/2007/10/25/Kenneth_Ribet_Serre_s_Modularity_Conjecture Serre's Modularity Conjecture] 50-minütige Vorlesung von [[Ken Ribet]] vom 25. Oktober 2007 ([http://math.berkeley.edu/~ribet/cms.pdf Folien] PDF, [https://math.berkeley.edu/~ribet/ucirvine.pdf andere Version der Folien] PDF)
*[http://math.uni.lu/~wiese/pub/CA.pdf Gabor Wiese, Die Serresche Modularitätsvermutung und Computeralgebra, 2010, pdf]

[[Kategorie:Vermutung (Mathematik)]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]