Quelltext der Seite Satz vom primitiven Element

Der '''Satz vom primitiven Element''' ist ein [[Satz (Mathematik)|mathematischer Satz]] aus der [[Algebra]], der [[hinreichende Bedingung]]en dafür angibt, dass eine [[Körpererweiterung]] eine [[einfache Körpererweiterung]] ist. Sind <math>K \subseteq L</math> Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element <math>a \in L</math> mit <math>L = K(a)</math>, wird ''primitives Element'' genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von [[Évariste Galois|Galois]] vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation<ref>Niels Henrik Abel: ''Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement'', J. reine angew. Math. Band 4 (1829), Seiten 131–156</ref> von [[Niels Henrik Abel|Abel]] aus dem Jahre 1829, auf die sich [[Évariste Galois]] in seinem ''Mémoire sur les conditions [...]'' (neben Arbeiten von Lagrange und Gauß) gestützt hat.<ref>[[Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch]]: ''Einführung in die klassische Mathematik I'', Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Seiten&nbsp;64&nbsp;f.: Kapitel 7.4 ''Das Galoissche Mémoire zur Gleichungstheorie'' und Kap. 7.5: ''Der Satz vom primitiven Element''</ref>

== Satz ==
Es gibt zwei Sätze, die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden, wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist.<ref>Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 259–260</ref><ref>Kurt Meyberg, ''Algebra II'', Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.17</ref>
* Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> ist einfach, wenn <math>L</math> von der Form <math>L = K(a, c_1, c_2, \ldots, c_n)</math> mit einem über <math>K</math> [[Algebraisches Element|algebraischen Element]] <math>a</math> und über <math>K</math> [[Separables Element|separablen Elementen]] <math>c_1, c_2, \ldots, c_n</math> ist.
* Jede endliche [[separable Körpererweiterung]] ist einfach.

== Bedeutung ==
Insbesondere sind endliche [[Galois-Erweiterung]]en von dieser Form und daher einfach. Ist <math>L=K(a)</math> eine solche Erweiterung, so ist ein Element der [[Galoisgruppe]], das heißt ein <math>K</math>-Automorphismus <math>\sigma</math> von <math>L</Math>, bereits eindeutig durch den Wert <math>\sigma(a)</math> bestimmt. Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung bestimmt werden. Darin liegt die Bedeutung dieses Satzes für die Galoistheorie.<ref>Kurt Meyberg, ''Algebra II'', Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 7.2: ''Bestimmung einiger Galois-Gruppen''</ref>

== Beispiele ==
* <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> ist eine Körpererweiterung über <math>\textstyle \Q</math>. Ein mögliches primitives Element <math>\textstyle t \in\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> ist
:: <math>t = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>,
: denn mit
:: <math>t^2 = 5 + 2\sqrt{6}</math>, <math>\quad t^3 = 11\sqrt{2} + 9\sqrt{3} \quad</math> und <math> \quad t^4 = 49 + 20\sqrt{6}</math>
:ergibt sich, dass t [[Nullstelle]] des [[Polynom]]s <math>\textstyle x^4 - 10 x^2 + 1</math> und damit algebraisch über <math>\textstyle \Q</math> ist.
:Außerdem erhält man die Gleichungen:
:: <math>t^3 - 9 t = 2 \sqrt{2} \quad</math>  und  <math>\quad t^3 - 11 t = -2 \sqrt{3}</math>.
:Damit lassen sich <math>\textstyle \sqrt{2}</math> und <math>\textstyle \sqrt{3}</math> durch Polynome mit der Variablen t ersetzen:
:: <math>\sqrt{2}  = \tfrac{1}{2} ( t^3 - 9 t) </math> und <math> \sqrt{3} = -\tfrac{1}{2} (t^3 - 11 t)</math>.
:Also ist
:: <math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})</math>
:und {1, t, t<sup>2</sup>, t<sup>3</sup>} eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> als [[Vektorraum]] über <math>\textstyle \Q</math>. Eine andere mögliche Basis ist {<math>\textstyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}</math>}, d.&nbsp;h.
::<math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d \in \Q\}</math> .

:Es handelt sich also um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad vier.
* Das Polynom <math>\textstyle x^4 - 5 x^2 + 6 = (x^2 - 2) (x^2 -3)</math> hat die Nullstellen <math>\textstyle x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = -\sqrt{2}, \quad x_3 = \sqrt{3}, \quad x_4 = -\sqrt{3}</math> und hat somit <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> als [[Zerfällungskörper]]. Wie oben gezeigt, ist <math>\textstyle t_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> ein primitives Element und die vier Nullstellen können somit als Polynome p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, p<sub>3</sub>, p<sub>4</sub> mit der Variablen t<sub>1</sub> dargestellt werden:
:: <math>x_1 = p_1(t_1) =  \tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 9 t_1)</math>,
:: <math>x_2 = p_2(t_1) =  -\tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 9 t_1)</math>,
:: <math>x_3 = p_3(t_1) =  -\tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 11 t_1)</math>,
:: <math>x_4 = p_4(t_1) =  \tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 11 t_1)</math>,
:Das primitive Element t<sub>1</sub> ist – wie oben berechnet – Nullstelle des über <math>\textstyle \Q</math> irreduziblen Polynoms <math>\textstyle x^4 - 10 x^2 + 1 = \left(x^2 - 5\right)^2 - 24</math>. Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch zweimaliges Wurzelziehen – zusammen mit der Beziehung <math>5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} \pm \sqrt{3})^2</math>:

:: <math>t_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad t_3 = \sqrt{2} - \sqrt{3}, \quad t_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

: Ersetzt man nun in den Polynomen p<sub>1</sub>, ... p<sub>4</sub> die Variable t<sub>1</sub> durch t<sub>2</sub>, t<sub>3</sub> oder t<sub>4</sub>, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, x<sub>4</sub> des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese [[Permutation]]en der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der [[Galoisgruppe]] auf diesen Nullstellen.<ref>Nieper-Wißkirchen: ''Galoissche Theorie.'' Universität Augsburg, S. 126, Proposition 4.8., {{Webarchiv|url=https://www.math.uni-augsburg.de/de/prof/alg/Downloads/Einfuehrung-in-die-Algebra.pdf|wayback=20190715130507|text=PDF}}</ref>

: Einsetzen von t<sub>1</sub> liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

::<math>p_1(t_1) = x_1, \quad p_2(t_1) = x_2, \quad p_3(t_1) = x_3, \quad p_4(t_1) = x_4, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_1:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)</math>,
::<math>p_1(t_2) = x_2, \quad p_2(t_2) = x_1, \quad p_3(t_2) = x_3, \quad p_4(t_2) = x_4, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_2:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_2,x_1,x_3,x_4\right)</math>,
::<math>p_1(t_3) = x_1, \quad p_2(t_3) = x_2, \quad p_3(t_3) = x_4, \quad p_4(t_3) = x_3, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_3:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_4,x_3\right)</math>,
::<math>p_1(t_4) = x_2, \quad p_2(t_4) = x_1, \quad p_3(t_4) = x_4, \quad p_4(t_4) = x_3, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_4:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)</math>.

:{<math>\textstyle \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4</math>} ist die Galoisgruppe als [[Permutationsgruppe]] der Nullstellen, als Gruppe der [[Körperautomorphismus|Körperautomorphismen]] ergibt sie sich wie folgt:
:Unter <math>\textstyle \sigma_2</math> werden <math>\textstyle \sqrt{2}</math> und <math>-\sqrt{2}</math> vertauscht werden, entsprechendes gilt bei <math>\textstyle \sigma_3</math> für <math>\textstyle \sqrt{3}</math> und <math>\textstyle -\sqrt{3}</math>. Unter <math>\textstyle \sigma_4</math> ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die Elemente der Galoisgruppe als Körperautomorphismen sind somit:

:: <math>\sigma_1':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}</math>,
:: <math>\sigma_2':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a - b\sqrt{2} + c\sqrt{3} - d\sqrt{6}</math>,
:: <math>\sigma_3':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a + b\sqrt{2} - c\sqrt{3} - d\sqrt{6}</math>,
:: <math>\sigma_4':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a - b\sqrt{2} - c\sqrt{3} + d\sqrt{6}</math>.

:Man sieht, dass unter <math>\textstyle \sigma_2'</math> neben dem Grundkörper <math>\textstyle \Q</math> der Körper <math>\textstyle \Q(\sqrt{3})</math> elementweise fest bleibt. Bei <math>\textstyle \sigma_3'</math> und <math>\textstyle \sigma_4'</math> sind die [[Fixkörper]] <math>\textstyle \Q(\sqrt{2})</math> bzw. <math>\textstyle \Q(\sqrt{6})</math>.
:Weil das Ausgangspolynom <math>\textstyle x^4 - 5 x^2 + 6 = (x^2 - 2) (x^2 -3)</math> nicht irreduzibel über <math>\Q</math> ist, [[Gruppenoperation|operiert]] die Galoisgruppe nicht [[Gruppenoperation#Transitive und scharf transitive Operationen|transitiv]] auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms: es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe, das die Nullstelle <math>\sqrt{2}</math> auf die Nullstelle <math>\sqrt{3}</math> abbildet.
* Die [[Algebraisch konjugiert|algebraisch Konjugierten]] des primitiven Elementes <math>t_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, also die Nullstellen
:: <math>t_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, <math>t_3 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math> und <math>t_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>,
: sind ebenfalls primitive Elemente, d.&nbsp;h. es gilt:
:: <math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}+\sqrt{3})  = \Q(-\sqrt{2}+\sqrt{3})  = \Q(\sqrt{2}-\sqrt{3})  = \Q(-\sqrt{2}-\sqrt{3})</math>.<ref>Nieper-Wißkirchen: ''Galoissche Theorie.'' Universität Augsburg 2013, S. 119, Proposition 4.4., {{Webarchiv|url=https://www.math.uni-augsburg.de/de/prof/alg/Downloads/Einfuehrung-in-die-Algebra.pdf|wayback=20190715130507|text=PDF}}</ref>

== Weblinks ==
{{Wikiversity|Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 12|Ein Beweis des Satzes}}

== Literatur ==
* {{Internetquelle |url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0004 |autor=  [[Niels Henrik Abel]] |titel=Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement |sprache=fr |werk=J. reine angew. Math. Band 4 (1829) |format=PDF; 41,9 MB |abruf=2022-10-25 |seiten=131–156}}
* [[Évariste Galois]]: ''Mémoire sur les conditions de résolubilité des equations par radicaux'', 1831. Erst 1846 veröffentlicht durch [[Joseph Liouville]] in: ''J. math. pures appl.'', vol. 11, (1846), Seiten 417–433.
* [[Helmut Koch (Mathematiker)|Helmut Koch]]: ''Einführung in die klassische Mathematik I'', Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3.
* [[Kurt Meyberg]]: ''Algebra II'', Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2.
* [[Christian Karpfinger]], Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3.
* {{Internetquelle |url=https://www.uni-augsburg.de/de/fakultaet/mntf/math/prof/alg/lehre/skripte/ |autor=[[Marc Nieper-Wißkirchen]] |titel=Galoissche Theorie – Eine Einführung in die Algebra |titelerg=Universität Augsburg |datum=2013-12-10 |format=PDF; 2,4 MB |abruf=2022-10-25 }} [https://assets.uni-augsburg.de/media/filer_public/40/79/40794080-90af-4f2f-8d54-633c7869f8d0/einfuhrung_in_die_algebra.pdf Direkter Link zum PDF]
* [[Helmut Hasse]]: ''Höhere Algebra II (Gleichungen höheren Grades)'', Walter de Gruyter & Co, Berlin, 1967, Sammlung Göschen Band 932. (Erstauflage 1926/27)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Körpertheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Primitives Element, Satz vom]]