Satz vom primitiven Element

Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind <math>K \subseteq L</math> Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element <math>a \in L</math> mit <math>L = K(a)</math>, wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation<ref>Niels Henrik Abel: Mémoire sur une classe particulière d'equations résolubles algébriquement, J. reine angew. Math. Band 4 (1829), Seiten 131–156</ref> von Abel aus dem Jahre 1829, auf die sich Évariste Galois in seinem Mémoire sur les conditions [...] (neben Arbeiten von Lagrange und Gauß) gestützt hat.<ref>Helmut Koch: Einführung in die klassische Mathematik I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Seiten 64 f.: Kapitel 7.4 Das Galoissche Mémoire zur Gleichungstheorie und Kap. 7.5: Der Satz vom primitiven Element</ref>

Satz

Es gibt zwei Sätze, die als Satz vom primitiven Element bezeichnet werden, wobei der zweite Satz eine Folgerung aus dem ersten ist.<ref>Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 259–260</ref><ref>Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.17</ref>

Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> ist einfach, wenn <math>L</math> von der Form <math>L = K(a, c_1, c_2, \ldots, c_n)</math> mit einem über <math>K</math> algebraischen Element <math>a</math> und über <math>K</math> separablen Elementen <math>c_1, c_2, \ldots, c_n</math> ist.
Jede endliche separable Körpererweiterung ist einfach.

Bedeutung

Insbesondere sind endliche Galois-Erweiterungen von dieser Form und daher einfach. Ist <math>L=K(a)</math> eine solche Erweiterung, so ist ein Element der Galoisgruppe, das heißt ein <math>K</math>-Automorphismus <math>\sigma</math> von <math>L</Math>, bereits eindeutig durch den Wert <math>\sigma(a)</math> bestimmt. Mit Hilfe eines primitiven Elementes kann auch die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Körpererweiterung bestimmt werden. Darin liegt die Bedeutung dieses Satzes für die Galoistheorie.<ref>Kurt Meyberg, Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Kapitel 7.2: Bestimmung einiger Galois-Gruppen</ref>

Beispiele

<math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> ist eine Körpererweiterung über <math>\textstyle \Q</math>. Ein mögliches primitives Element <math>\textstyle t \in\Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> ist

<math>t = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>,

denn mit

ergibt sich, dass t Nullstelle des Polynoms <math>\textstyle x^4 - 10 x^2 + 1</math> und damit algebraisch über <math>\textstyle \Q</math> ist.

Außerdem erhält man die Gleichungen:

<math>t^3 - 9 t = 2 \sqrt{2} \quad</math> und <math>\quad t^3 - 11 t = -2 \sqrt{3}</math>.

Damit lassen sich <math>\textstyle \sqrt{2}</math> und <math>\textstyle \sqrt{3}</math> durch Polynome mit der Variablen t ersetzen:

<math>\sqrt{2} = \tfrac{1}{2} ( t^3 - 9 t) </math> und <math> \sqrt{3} = -\tfrac{1}{2} (t^3 - 11 t)</math>.

Also ist

und {1, t, t², t³} eine Basis von <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> als Vektorraum über <math>\textstyle \Q</math>. Eine andere mögliche Basis ist {<math>\textstyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}</math>}, d. h.

<math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\mid a,b,c,d \in \Q\}</math> .

Es handelt sich also um eine algebraische Körpererweiterung vom Grad vier.

Das Polynom <math>\textstyle x^4 - 5 x^2 + 6 = (x^2 - 2) (x^2 -3)</math> hat die Nullstellen <math>\textstyle x_1 = \sqrt{2}, \quad x_2 = -\sqrt{2}, \quad x_3 = \sqrt{3}, \quad x_4 = -\sqrt{3}</math> und hat somit <math>\textstyle \Q(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> als Zerfällungskörper. Wie oben gezeigt, ist <math>\textstyle t_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math> ein primitives Element und die vier Nullstellen können somit als Polynome p₁, p₂, p₃, p₄ mit der Variablen t₁ dargestellt werden:

<math>x_1 = p_1(t_1) = \tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 9 t_1)</math>,

<math>x_2 = p_2(t_1) = -\tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 9 t_1)</math>,

<math>x_3 = p_3(t_1) = -\tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 11 t_1)</math>,

<math>x_4 = p_4(t_1) = \tfrac{1}{2} ( t_1^3 - 11 t_1)</math>,

Das primitive Element t₁ ist – wie oben berechnet – Nullstelle des über <math>\textstyle \Q</math> irreduziblen Polynoms <math>\textstyle x^4 - 10 x^2 + 1 = \left(x^2 - 5\right)^2 - 24</math>. Die anderen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch zweimaliges Wurzelziehen – zusammen mit der Beziehung <math>5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} \pm \sqrt{3})^2</math>:

<math>t_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad t_3 = \sqrt{2} - \sqrt{3}, \quad t_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

Ersetzt man nun in den Polynomen p₁, ... p₄ die Variable t₁ durch t₂, t₃ oder t₄, so ergeben sich wiederum die Nullstellen x₁, x₂, x₃, x₄ des Ausgangspolynoms, allerdings in einer anderen Reihenfolge. Diese Permutationen der Nullstellen entsprechen jeweils einer Operation eines Elementes der Galoisgruppe auf diesen Nullstellen.<ref>Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg, S. 126, Proposition 4.8., <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20190715130507

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  }}</ref>

Einsetzen von t₁ liefert die Identität, die übrigen Beziehungen ergeben sich durch Nachrechnen:

<math>p_1(t_1) = x_1, \quad p_2(t_1) = x_2, \quad p_3(t_1) = x_3, \quad p_4(t_1) = x_4, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_1:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)</math>,

<math>p_1(t_2) = x_2, \quad p_2(t_2) = x_1, \quad p_3(t_2) = x_3, \quad p_4(t_2) = x_4, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_2:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_2,x_1,x_3,x_4\right)</math>,

<math>p_1(t_3) = x_1, \quad p_2(t_3) = x_2, \quad p_3(t_3) = x_4, \quad p_4(t_3) = x_3, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_3:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_1,x_2,x_4,x_3\right)</math>,

<math>p_1(t_4) = x_2, \quad p_2(t_4) = x_1, \quad p_3(t_4) = x_4, \quad p_4(t_4) = x_3, \quad \Longrightarrow \quad \sigma_4:\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\mapsto\left(x_2,x_1,x_4,x_3\right)</math>.

{<math>\textstyle \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4</math>} ist die Galoisgruppe als Permutationsgruppe der Nullstellen, als Gruppe der Körperautomorphismen ergibt sie sich wie folgt:

Unter <math>\textstyle \sigma_2</math> werden <math>\textstyle \sqrt{2}</math> und <math>-\sqrt{2}</math> vertauscht werden, entsprechendes gilt bei <math>\textstyle \sigma_3</math> für <math>\textstyle \sqrt{3}</math> und <math>\textstyle -\sqrt{3}</math>. Unter <math>\textstyle \sigma_4</math> ändert sich bei beiden Wurzeln das Vorzeichen. Die Elemente der Galoisgruppe als Körperautomorphismen sind somit:

<math>\sigma_1':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}</math>,

<math>\sigma_2':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a - b\sqrt{2} + c\sqrt{3} - d\sqrt{6}</math>,

<math>\sigma_3':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a + b\sqrt{2} - c\sqrt{3} - d\sqrt{6}</math>,

<math>\sigma_4':a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6}\mapsto a - b\sqrt{2} - c\sqrt{3} + d\sqrt{6}</math>.

Man sieht, dass unter <math>\textstyle \sigma_2'</math> neben dem Grundkörper <math>\textstyle \Q</math> der Körper <math>\textstyle \Q(\sqrt{3})</math> elementweise fest bleibt. Bei <math>\textstyle \sigma_3'</math> und <math>\textstyle \sigma_4'</math> sind die Fixkörper <math>\textstyle \Q(\sqrt{2})</math> bzw. <math>\textstyle \Q(\sqrt{6})</math>.

Weil das Ausgangspolynom <math>\textstyle x^4 - 5 x^2 + 6 = (x^2 - 2) (x^2 -3)</math> nicht irreduzibel über <math>\Q</math> ist, operiert die Galoisgruppe nicht transitiv auf der Menge der Nullstellen dieses Polynoms: es gibt zum Beispiel kein Element der Galoisgruppe, das die Nullstelle <math>\sqrt{2}</math> auf die Nullstelle <math>\sqrt{3}</math> abbildet.

Die algebraisch Konjugierten des primitiven Elementes <math>t_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, also die Nullstellen

<math>t_2 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, <math>t_3 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math> und <math>t_4 = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>,

sind ebenfalls primitive Elemente, d. h. es gilt:

<math>\Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = \Q(-\sqrt{2}+\sqrt{3}) = \Q(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \Q(-\sqrt{2}-\sqrt{3})</math>.<ref>Nieper-Wißkirchen: Galoissche Theorie. Universität Augsburg 2013, S. 119, Proposition 4.4., <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20190715130507

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Weblinks

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Literatur

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Évariste Galois: Mémoire sur les conditions de résolubilité des equations par radicaux, 1831. Erst 1846 veröffentlicht durch Joseph Liouville in: J. math. pures appl., vol. 11, (1846), Seiten 417–433.
Helmut Koch: Einführung in die klassische Mathematik I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3.
Kurt Meyberg: Algebra II, Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2.
Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3.
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Helmut Hasse: Höhere Algebra II (Gleichungen höheren Grades), Walter de Gruyter & Co, Berlin, 1967, Sammlung Göschen Band 932. (Erstauflage 1926/27)

Einzelnachweise