Quelltext der Seite Rational elliptische Funktionen

[[Datei:Rational Elliptic Functions (n=1,2,3,4, x=--1,1-).svg|mini|Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen <math>x=-1</math> und <math>x=1</math> für die Ordnungen 1, 2, 3 und 4 mit dem Selektivfaktor <math>\xi = 1{,}1</math>.]]

Die '''rational elliptischen Funktionen''' stellen in der Mathematik eine Reihe von [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]] mit [[Reelle Zahl|reellen]] Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von [[Übertragungsfunktion]]en bei [[Cauer-Filter]]n in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.

Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre [[Grad (Polynom)|Ordnung]] <math>n</math> und einen reellen Selektivfaktor <math>\xi \geq 1</math> charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter <math>x</math> definiert als:
:<math>R_n(\xi,x)\equiv \mathrm{cd}\left(n\frac{K(1/L_n)}{K(1/\xi)}\,\mathrm{cd}^{-1}(x,1/\xi),1/L_n\right)</math>,
wobei die Funktion <math>\operatorname{cd}(\cdot)</math> eine abgeleitete [[jacobische elliptische Funktion]] darstellt, bestehend aus den ''cosinus amplitudinis'' und den ''delta amplitudinis''. <math>K(\cdot)</math> steht für das [[elliptisches Integral|elliptische Integral]] erster Art und <math>L_n(\xi)=R_n(\xi,\xi)</math> stellt einen ''Diskriminierungsfaktor'' dar, welcher für <math>|x|\ge\xi</math> gleich dem kleinsten Betragswert von <math>R_n(\xi,x)</math> ist.

== Ausdruck als rationale Funktion ==
Für Ordnungen in der Form <math>n = 2^a 3^b</math>, mit <math>a</math> und <math>b</math> nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch [[analytische Funktion]]en ausgedrückt werden.

Für gerade Ordnung <math>n</math> können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier [[Polynom]]e, beide mit Ordnung <math>n</math>, ausgedrückt werden als:
:<math>R_n(\xi,x)=r_0\,\frac{\prod_{i=1}^n (x-x_i)}{\prod_{i=1}^n (x-x_{pi})}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>n</math> gerade)
mit den Nullstellen <math>x_i</math> und den Polstellen <math>x_{pi}</math>. Der Faktor <math>r_0</math> wird so gewählt, dass <math>R_n(\xi,1)=1</math> gilt.

Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei <math>x=\infty</math> und eine Nullstelle bei <math>x=0</math>, womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form
:<math>R_n(\xi,x)=r_0\,x\,\frac{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_i)}{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_{pi})}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>n</math> ungerade)
ausgedrückt werden können.

Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:
:<math>R_1(\xi,x)=x</math>
:<math>R_2(\xi,x)=\frac{(t+1)x^2-1}{(t-1)x^2+1}</math>, mit <math>t \equiv \sqrt{1-\frac{1}{\xi^2}}</math>.
:<math>R_3(\xi,x)=x\,\frac{(1-x_p^2)(x^2-x_z^2)}{(1-x_z^2)(x^2-x_p^2)}</math>, mit <math>G\equiv\sqrt{4\xi^2+(4\xi^2(\xi^2\!-\!1))^{2/3}}</math>, <math>x_p^2\equiv\frac{2\xi^2\sqrt{G}}{\sqrt{8\xi^2(\xi^2\!+\!1)+12G\xi^2-G^3}-\sqrt{G^3}}</math>, <math>x_z^2=\xi^2/x_p^2</math>

Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:
:<math>R_4(\xi,x)=R_2(R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x))=\frac{(1+t)(1+\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1+\sqrt{t})x^2+1}{(1+t)(1-\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1-\sqrt{t})x^2+1}</math>
:<math>R_5(\xi,x)</math>, keine rationale Funktion.
:<math>R_6(\xi,x)=R_3\bigl( R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x) \bigr)</math>

== Eigenschaften ==

=== Normalisierung ===
Alle rational elliptischen Funktionen sind bei <math>x=1</math> auf <math>1</math> normiert:
:<math>R_n(\xi,1)=1</math>.

=== Verschachtelung ===
Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:
:<math>R_m(R_n(\xi,\xi),R_n(\xi,x))=R_{m\cdot n}(\xi,x)</math>.

Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich <math>R_2</math> und <math>R_3</math> als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen <math>n = 2^a 3^b</math> in Form von analytischen Funktionen angeben.

=== Grenzwerte ===
Die [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwerte]] der rational elliptischen Funktionen für <math>\xi \to \infty</math> lassen sich als [[Tschebyschow-Polynom]]e erster Art <math>T_n</math> ausdrücken:
:<math>\lim_{\xi=\rightarrow\,\infty}R_n(\xi,x) = T_n(x)</math>.

=== Symmetrie ===
Es gilt allgemein:
:<math>R_n(\xi,-x)=R_n(\xi,x)</math> für gerade <math>n</math>,
:<math>R_n(\xi,-x)=-R_n(\xi,x)\,</math> für ungerades <math>n</math>.

=== Welligkeit ===

<math>R_n(\xi,x)</math> hat eine einheitliche Welligkeit von <math>\pm 1</math> im Intervall <math>-1 \leq x \leq 1</math>.

=== Kehrwert ===
Es gilt allgemein
:<math>R_n(\xi,\xi/x)=\frac{R_n(\xi,\xi)}{R_n(\xi,x)}</math>.
Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung
:<math>x_{pi}x_{zi}=\xi\,</math>
genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei <math>x=0</math> und eine [[Polstelle]] bei Unendlich auf.

== Quellen ==
*[https://mathworld.wolfram.com/EllipticRationalFunction.html Elliptic rational functions] auf ''MathWorld'' (engl.)

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Max Koecher, Aloys Krieg
|Titel = Elliptische Funktionen und Modulformen
|Verlag = Springer | Auflage = 2. | Jahr = 2007 | ISBN = 978-3-540-49324-2 }}

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]