Rational elliptische Funktionen
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Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.
Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung <math>n</math> und einen reellen Selektivfaktor <math>\xi \geq 1</math> charakterisiert. Formal sind die rational elliptischen Funktionen mit dem Parameter <math>x</math> definiert als:
- <math>R_n(\xi,x)\equiv \mathrm{cd}\left(n\frac{K(1/L_n)}{K(1/\xi)}\,\mathrm{cd}^{-1}(x,1/\xi),1/L_n\right)</math>,
wobei die Funktion <math>\operatorname{cd}(\cdot)</math> eine abgeleitete jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis. <math>K(\cdot)</math> steht für das elliptische Integral erster Art und <math>L_n(\xi)=R_n(\xi,\xi)</math> stellt einen Diskriminierungsfaktor dar, welcher für <math>|x|\ge\xi</math> gleich dem kleinsten Betragswert von <math>R_n(\xi,x)</math> ist.
Ausdruck als rationale Funktion
Für Ordnungen in der Form <math>n = 2^a 3^b</math>, mit <math>a</math> und <math>b</math> nichtnegativ ganzzahlig, können die rational elliptischen Funktionen durch analytische Funktionen ausgedrückt werden.
Für gerade Ordnung <math>n</math> können die rational elliptischen Funktionen in diesen Fällen als Quotient zweier Polynome, beide mit Ordnung <math>n</math>, ausgedrückt werden als:
- <math>R_n(\xi,x)=r_0\,\frac{\prod_{i=1}^n (x-x_i)}{\prod_{i=1}^n (x-x_{pi})}</math> (<math>n</math> gerade)
mit den Nullstellen <math>x_i</math> und den Polstellen <math>x_{pi}</math>. Der Faktor <math>r_0</math> wird so gewählt, dass <math>R_n(\xi,1)=1</math> gilt.
Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei <math>x=\infty</math> und eine Nullstelle bei <math>x=0</math>, womit rational elliptische Funktionen bei ungerader Ordnung in der Form
- <math>R_n(\xi,x)=r_0\,x\,\frac{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_i)}{\prod_{i=1}^{n-1} (x-x_{pi})}</math> (<math>n</math> ungerade)
ausgedrückt werden können.
Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:
- <math>R_1(\xi,x)=x</math>
- <math>R_2(\xi,x)=\frac{(t+1)x^2-1}{(t-1)x^2+1}</math>, mit <math>t \equiv \sqrt{1-\frac{1}{\xi^2}}</math>.
- <math>R_3(\xi,x)=x\,\frac{(1-x_p^2)(x^2-x_z^2)}{(1-x_z^2)(x^2-x_p^2)}</math>, mit <math>G\equiv\sqrt{4\xi^2+(4\xi^2(\xi^2\!-\!1))^{2/3}}</math>, <math>x_p^2\equiv\frac{2\xi^2\sqrt{G}}{\sqrt{8\xi^2(\xi^2\!+\!1)+12G\xi^2-G^3}-\sqrt{G^3}}</math>, <math>x_z^2=\xi^2/x_p^2</math>
Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:
- <math>R_4(\xi,x)=R_2(R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x))=\frac{(1+t)(1+\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1+\sqrt{t})x^2+1}{(1+t)(1-\sqrt{t})^2x^4-2(1+t)(1-\sqrt{t})x^2+1}</math>
- <math>R_5(\xi,x)</math>, keine rationale Funktion.
- <math>R_6(\xi,x)=R_3\bigl( R_2(\xi,\xi),R_2(\xi,x) \bigr)</math>
Eigenschaften
Normalisierung
Alle rational elliptischen Funktionen sind bei <math>x=1</math> auf <math>1</math> normiert:
- <math>R_n(\xi,1)=1</math>.
Verschachtelung
Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:
- <math>R_m(R_n(\xi,\xi),R_n(\xi,x))=R_{m\cdot n}(\xi,x)</math>.
Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich <math>R_2</math> und <math>R_3</math> als geschlossener analytischer Ausdruck angeben lassen. Damit lassen sich alle Ordnungen <math>n = 2^a 3^b</math> in Form von analytischen Funktionen angeben.
Grenzwerte
Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für <math>\xi \to \infty</math> lassen sich als Tschebyschow-Polynome erster Art <math>T_n</math> ausdrücken:
- <math>\lim_{\xi=\rightarrow\,\infty}R_n(\xi,x) = T_n(x)</math>.
Symmetrie
Es gilt allgemein:
- <math>R_n(\xi,-x)=R_n(\xi,x)</math> für gerade <math>n</math>,
- <math>R_n(\xi,-x)=-R_n(\xi,x)\,</math> für ungerades <math>n</math>.
Welligkeit
<math>R_n(\xi,x)</math> hat eine einheitliche Welligkeit von <math>\pm 1</math> im Intervall <math>-1 \leq x \leq 1</math>.
Kehrwert
Es gilt allgemein
- <math>R_n(\xi,\xi/x)=\frac{R_n(\xi,\xi)}{R_n(\xi,x)}</math>.
Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung
- <math>x_{pi}x_{zi}=\xi\,</math>
genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei <math>x=0</math> und eine Polstelle bei Unendlich auf.
Quellen
- Elliptic rational functions auf MathWorld (engl.)
Literatur
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