Quelltext der Seite Punktierter topologischer Raum

Ein '''punktierter topologischer Raum''' ist ein Paar (''X'',''x''<sub>0</sub>), bestehend aus einem [[Topologie (Mathematik)|topologischen Raum]] ''X'' und einem Punkt ''x''<sub>0</sub> in ''X'' (''Grundpunkt'', ''Basispunkt'', ''ausgezeichneter Punkt''). Eine ''punktierte'' (stetige) Abbildung (''X'',''x''<sub>0</sub>)&nbsp;→&nbsp;(''Y'',''y''<sub>0</sub>) ist eine stetige Abbildung ''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'', die ''x''<sub>0</sub> auf ''y''<sub>0</sub> abbildet.

Häufig wird der Grundpunkt auch einfach mit einem Stern bezeichnet.

Ist die [[Inklusionsabbildung|Inklusion]] <math>\{x_0\} \hookrightarrow X</math> eine [[Kofaserung]], so spricht man von einem ''wohlpunktierten'' Raum.<ref>Jon P. May: ''A Concise Course in Algebraic Topology.'' University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1999, ISBN 0-226-51183-9, Abschnitt 8.3.</ref>

Ein topologischer Raum heißt ''homogen'', wenn je zwei punktierte topologische Räume auf ihm isomorph sind.

== Kategorielle Eigenschaften ==
Die [[Kategorientheorie|Kategorie]] der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur [[Kommakategorie]] <math>\{\star\} \downarrow \operatorname{Top}</math>. Sie besitzt [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekte]] (diejenigen Räume, welche nur aus dem einen Punkt bestehen). [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkte]] sind die gewöhnlichen Produkte topologischer Räume, [[Koprodukt]]e sind [[Wedge-Produkt (Topologie)|Ein-Punkt-Vereinigungen]], also disjunkte Vereinigungen, bei denen die jeweiligen ausgezeichneten Punkte miteinander identifiziert werden, geschrieben <math>X\vee Y</math>.

== Homotopieklassen punktierter Abbildungen ==
Zwei punktierte Abbildungen
:<math>f,g\colon (X,x_0)\to(Y,y_0)</math>
heißen ''homotop'', wenn es eine stetige Abbildung <math>H\colon X\times\left[0,1\right]\to Y</math> mit
:<math>H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x)\ \forall x\in X</math>
:<math>H(x_0,t)=y_0\ \forall t\in\left[0,1\right]</math>
gibt. Die Menge der Homotopieklassen punktierter Abbildungen wird mit <math>\left[X,Y\right]</math> bezeichnet.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]