Quelltext der Seite Pentagonikositetraeder

[[Datei:Pentagonalicositetrahedroncw.jpg|mini|3D-Ansicht eines Pentagonikositetraeders ([[:Datei:Pentagonalicositetrahedroncw.gif|Animation]])]]
[[Datei:Pentagonal icositetrahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Pentagonikositetraeders]]
[[Datei:Pentagonalicositetrahedron net.svg|mini|[[Netz (Geometrie)|Netz]] des Pentagonikositetraeders]]

Das '''Pentagonikositetraeder''' ist ein  [[chirales Polyeder]], das sich aus 24 unregelmäßigen [[Fünfeck]]en zusammensetzt und zu den [[Catalanischer Körper|Catalanischen Körpern]] zählt. Es ist der [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] zum [[Abgeschrägtes Hexaeder|abgeschrägten Hexaeder]] und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.

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   pentagonalicositetrahedronccw.jpg|Spiegelvariante 1
   pentagonalicositetrahedroncw.jpg|Spiegelvariante 2
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== Entstehung ==
[[Datei:Pentagon 24.png|mini|Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Hexaeder]]
[[Datei:Pentagonalikositetraeder (l+r).JPG|mini|Links- und rechtshändige Version eines Pentagonikositetraeders (Pappmodelle)]]
Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht ein [[Sehnenfünfeck]], dessen [[Umkreis]] gleichzeitig [[Inkreis]] des [[Tangentenfünfeck]]s, der Begrenzungsfläche des Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), und es existiert ein einheitlicher [[Kantenkugel]]radius.

Nachfolgend bezeichne der Term <math>t</math> den [[Kosinus]] des kleineren [[Zentriwinkel]]s <math>\zeta</math> im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.<ref>''t'' ist die einzige [[Reelle Zahl|reelle]] Lösung der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]] 4t<sup>3</sup> + 4t<sup>2</sup> − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von ''t'' die Zahl 1 addiert, erhält man die [[Tribonacci-Folge#Matrix_und_Konstante|Tribonacci-Konstante]], welche den [[Grenzwert (Folge)|Limes]] des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.</ref>

: <math> t = \cos \,\zeta = \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{19 + 3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 - 3\sqrt{33}} -2 \right) </math>

Sei <math>d</math> die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

: <math> a = \frac{d}{2} \sqrt{2+2t} </math>
: <math> b = \frac{d}{\sqrt{2+2t}} </math>

Daraus folgt:<ref>Mit ''a''> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.</ref>

:<math> a = b\,(1+t) </math>

== Verwandte Polyeder ==

<gallery>
   Snubhexahedroncw.jpg|Dualer Körper: [[Abgeschrägtes Hexaeder]]
   Würfel im Pentagonikositetraeder.png|Einbeschriebener [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
   Oktaeder im Pentagonikositetraeder.png|Einbeschriebenes [[Oktaeder]]
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== Formeln ==
=== Für das Polyeder ===
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge ''a'' bzw. ''b''<ref name="Formel">Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall ''b = a:(1+t)'' bzw. äquivalent dazu ''a = b·(1+t)''</ref>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]<ref name="tformel">Diese Formel gilt auch für das [[Pentagonhexakontaeder]] sowie das [[Pentagondodekaeder]], sofern man die entsprechenden Werte für ''b'' (kurze Seitenlänge), ''n'' (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie ''t'' (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.</ref><br />≈ 12,45a<sup>3</sup> ≈ 35,63b<sup>3</sup>'''
| <math>V = \frac{4a^3(2+3t)\sqrt{1-2t}}{(1+t)(1-4t^2)} = \frac{2b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\sqrt{1-2t}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]<ref name="tformel" /><br />≈ 27,19a<sup>2</sup> ≈ 54,8b<sup>2</sup>'''
| <math>A_O = \frac{24a^2(2+3t)}{1+2t} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} = \frac{12b^2(2+3t)}{(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius'''<ref name="tformel" />
| <math>r = \frac{a}{\sqrt{2\,(1+t)(1-2t)}} = b\,\sqrt{\frac{1+t}{2\,(1-2t)}} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkugel]]radius'''<ref name="tformel" />
| <math>\rho = \frac{a}{2\sqrt{(1-2t)(1-t^2)}} = \frac{b}{2}\, \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Diederwinkel|Flächenwinkel]]<ref name="tformel" /><br /> &nbsp;≈ 136° 18′ 33″'''
| <math> \cos \, \alpha= \frac{t}{t-1} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]<br /> &nbsp;≈ 0,9556'''
| <math> \Psi = \frac \sqrt [3] {36 \,\pi \,V^{2}} {A_O} </math>
|}

=== Für die Begrenzungsflächen ===
[[Datei:Pentagonikositetraeder Fünfeck.svg|250px|mini|Größen im Fünfeck des Pentagonikositetraeders]]
{| class="wikitable"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen des Tangentenfünfecks<ref name="Formel" />
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt]]'''<ref name="tformel" />
| <math> A  =  \frac{a^2(2+3t)}{1+2t} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} = \frac{b^2(2+3t)}{2\,(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Inkreis]]radius'''<ref name="tformel" />
| <math> r = \frac{a}{2\sqrt{1-t^2}} = \frac{b}{2}\,\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Diagonale'''<ref name="tformel" /> <math>\|\, b</math>
| <math> e  =  2a\,(1-2t^2) = b\,(1+2t)</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Stumpfer Winkel|Stumpfe Winkel]]<ref name="tformel" />(4)<br /> &nbsp;≈ 114° 48′ 43″'''
| <math> \cos \, \alpha = -t </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Spitzer Winkel]] (1)<br /> &nbsp;≈ 80° 45′ 6″'''
| <math> \cos \, \beta = 1 - 2t </math>
|}

== Anmerkungen ==
<references />

== Weblinks ==
{{Commonscat|Pentagonal icositetrahedra|Pentagonikositetraeder}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|PentagonalIcositetrahedron|Pentagonikositetraeder}}

{{Navigationsleiste Catalanische Körper}}

[[Kategorie:Catalanischer Körper]]