Quelltext der Seite Lokale Messbarkeit

In der [[Mathematik]], genauer in der [[Maßtheorie]], ist '''lokale Messbarkeit''' eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

== Definition ==
Sei <math>(\Omega, \mathcal A, \mu)</math> ein [[Maßraum]] und <math>(S,\mathcal B)</math> ein [[Messraum (Mathematik)|Messraum]]. Eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f\colon \Omega \to S</math> heißt ''lokal messbar'', falls für jedes <math>A\in \mathcal A</math> mit <math>\mu(A) <\infty</math> die Abbildung <math>f|_A\colon (A, \mathcal A \cap A) \to (S, \mathcal B)</math> messbar ist, d.&nbsp;h. falls für jedes <math>B \in \mathcal B</math> stets <math>f^{-1}(B) \cap A \in \mathcal A</math> ist.

== Eigenschaften == 

* Jede [[messbare Funktion]] ist auch lokal messbar.
* Ist <math>(\Omega,\mathcal A, \mu)</math> ein [[Maß (Mathematik)|&sigma;-endlicher Maßraum]], so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.

== Literatur ==

* Ehrhard Behrends: ''Maß- und Integrationstheorie.'' Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.

[[Kategorie:Maßtheorie]]