Quelltext der Seite Lemma von Céa

Das '''Lemma von Céa''' oder das '''Céa-Lemma''' ist ein mathematischer Satz aus der [[Funktionalanalysis]]. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von [[Finite-Elemente-Methode|Finite-Elemente-Näherungen]] von elliptischen [[partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]]. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers [[Jean Céa]]<ref name="emmrich 2004"/>, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

== Formulierung ==
=== Voraussetzungen ===
Sei <math>V</math> ein [[Reelle Zahlen|reeller]] [[Hilbertraum]] mit der [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\|</math>. Sei <math>a\colon V\times V\to \mathbb R</math> eine [[Bilinearform]], die

* [[Beschränktheit|beschränkt]] (äquivalent dazu stetig), d.&nbsp;h. <math>|a(v, w)| \le C \|v\|\,\|w\|</math> für eine Konstante <math>C > 0</math> und alle <math>v, w \in V</math>

* und [[koerzitiv]] (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d.&nbsp;h. <math>a(v, v) \ge \alpha \|v\|^2</math> für eine Konstante <math>\alpha > 0</math> und alle <math>v \in V</math>

ist. Sei weiter <math>L \colon V\to \mathbb R</math> ein beschränkter [[linearer Operator]].

=== Problemstellung ===
Betrachte das Problem, ein <math>u \in V</math> mit

: <math>a(u, v)=L(v)\,</math> für alle <math>v \in V</math>

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum <math>V_h \sub V</math>, d.&nbsp;h. es ist ein <math>u_h \in V_h</math> zu finden mit

: <math>a(u_h, v)=L(v)\,</math> für alle <math>v \in V_h</math>.

Nach dem [[Lemma von Lax-Milgram]] gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

=== Aussage des Lemmas ===
Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das '''Lemma von Céa''':

: <math>\|u-u_h\|\le \frac{C}{\alpha} \inf_{v_h \in V_h} \left(\|u-v_h\|\right)</math>.

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung <math>u_h</math> aus dem Unterraum <math>V_h</math> höchstens um die Konstante <math>\tfrac{C}{\alpha}</math> schlechter ist als die beste Approximation für <math>u</math> im Raum <math>V_h</math>, sie ist ''quasi-optimal''.

=== Bemerkungen ===
Mit einer [[Symmetrische Bilinearform|symmetrischen Bilinearform]] verkleinert sich die Konstante auf <math>\textstyle \sqrt\frac{C}{\alpha}</math>,<ref name="emmrich 2004"/> der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für [[komplexe Zahlen|komplexe]] Hilberträume, indem eine [[Sesquilinearform]] <math>a(\cdot, \cdot)</math> statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu <math>|a(v, v)| \ge \alpha \|v\|^2</math> für alle <math>v \in V</math>, man beachte die Betragszeichen um <math>a(v, v)</math>.

Die Approximationsgüte des Ansatzraums <math>V_h</math> bestimmt den Approximationsfehler <math>\|u-u_h\|</math> stark.

== Sonderfall: Symmetrische Bilinearform ==
=== Die Energienorm ===
In vielen Anwendungen ist die Bilinearform <math>a</math> symmetrisch, also <math>a(v, w) = a(w, v)</math> für alle <math>v, w </math> in <math>V</math>. Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass <math>a</math> ein [[Skalarprodukt]] von <math>V</math> ist. Die implizierte Norm <math>\|v\|_a=\sqrt{a(v, v)}</math> wird ''Energienorm'' genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine [[Energie (Physik)|Energie]] darstellt. Diese Norm ist [[Äquivalente Normen|äquivalent]] zur Norm <math>\|\cdot\|</math> des Vektorraums <math>V</math>.

=== Das Lemma von Céa in der Energienorm ===
[[Bild:Cea lemma illust.svg|right|mini|Die Unterraum-Lösung <math>u_h</math> ist eine Projektion von <math>u</math> auf den Unterraum <math>V_h</math> bezüglich des Skalarprodukts <math>a</math>.]]

Aus der Galerkin-Orthogonalität von <math>u-u_h</math> mit <math>V_h</math> und der [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzschen Ungleichung]] ergibt sich
: <math>\|u-u_h\|_a^2 = a(u-u_h,u-u_h) = a(u-u_h,u-v) \le \|u-u_h\|_a \cdot \|u-v\|_a</math> für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>.

Somit lautet das '''Lemma von Céa in der Energienorm''':
: <math>\|u-u_h\|_a\le \|u-v\|_a</math>  für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>.
Man beachte, dass die Konstante <math>\tfrac{C}{\alpha}</math> auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung <math>u_h</math> die beste Approximation der Lösung <math>u</math> bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich <math>u_h</math> als [[Projektion (lineare Algebra)|Projektion]] bezüglich <math>a</math> von <math>u</math> auf den Unterraum <math>V_h</math> interpretieren.

=== Folgerungen ===
Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm <math>\| \cdot \|</math> des Vektorraums <math>V</math> zeigen. Aus
: <math>\alpha \|u-u_h\|^2 \le a(u-u_h,u-u_h) = \|u-u_h\|_a^2 \le \|u - v\|_a^2 \le C \|u-v\|^2</math> für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>
folgt
: <math>\|u-u_h\| \le \sqrt{\frac{C}{\alpha}} \|u-v\|</math>  für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>.

== Beweis ==
Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.

=== Galerkin-Orthogonalität ===
Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung <math>a(u, v)=L(v)</math> für alle <math>v \in V</math> und <math>a(u_h, v)=L(v)</math> für alle <math>v \in V_h</math> werden voneinander abgezogen, was wegen <math>V_h \sub V</math> möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet <math>a(u - u_h, v)=0</math> für alle <math>v \in V_h</math> und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

=== Abschätzung ===
Die Bilinearform <math>a</math> ist koerziv
:<math>\alpha \|u-u_h\|^2 \le a(u-u_h,u-u_h)</math>
Addition von 0, sei <math>v_h \in V_h</math>
:<math> = a(u-u_h,u-v_h+v_h-u_h)</math>
Mit Bilinearität von <math>a</math>
:<math>= a(u-u_h,u-v_h) + a(u-u_h,v_h-u_h)</math>
Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da <math>v := v_h - u_h \in V_h</math>
:<math> = a(u-u_h,u-v_h)</math>
Die Bilinearform <math>a</math> ist stetig
:<math> \le C \|u-u_h\| \|u-v_h\|</math>

Die Gleichung kann durch <math>\|u-u_h\|</math> geteilt werden. Da <math>v_h</math> beliebig aus <math>V_h</math> gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.

== Literatur ==
* {{Literatur
    |Autor=D. Braess
    |Titel=Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie
    |Auflage=4.
    |Verlag=Springer
    |Jahr=2007
    |ISBN=978-3-540-72449-0
    |Kommentar=Kapitel II §4.2 und Kapitel III §1.1
    }}

* Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, [http://archive.numdam.org/article/AIF_1964__14_2_345_0.pdf PDF, 5 MB] (Original-Arbeit von J. Céa)

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="emmrich 2004">
E. Emmrich: ''Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen - Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende''. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-528-03213-5, Seite 112</ref>
</references>

{{SORTIERUNG:Cealemma}}
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]