Lemma von Céa

Das Lemma von Céa oder das Céa-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Es ist grundlegend für die Fehlerschätzung von Finite-Elemente-Näherungen von elliptischen partiellen Differentialgleichungen. Das Lemma trägt den Namen zu Ehren des französischen Mathematikers Jean Céa<ref name="emmrich 2004"/>, der es in seiner Dissertation 1964 bewies.

Formulierung

Voraussetzungen

Sei <math>V</math> ein reeller Hilbertraum mit der Norm <math>\|\cdot\|</math>. Sei <math>a\colon V\times V\to \mathbb R</math> eine Bilinearform, die

beschränkt (äquivalent dazu stetig), d. h. <math>|a(v, w)| \le C \|v\|\,\|w\|</math> für eine Konstante <math>C > 0</math> und alle <math>v, w \in V</math>

und koerzitiv (häufig auch stark positiv, V-elliptisch), d. h. <math>a(v, v) \ge \alpha \|v\|^2</math> für eine Konstante <math>\alpha > 0</math> und alle <math>v \in V</math>

ist. Sei weiter <math>L \colon V\to \mathbb R</math> ein beschränkter linearer Operator.

Problemstellung

Betrachte das Problem, ein <math>u \in V</math> mit

zu finden. Betrachte nun das gleiche Problem in einem Unterraum <math>V_h \sub V</math>, d. h. es ist ein <math>u_h \in V_h</math> zu finden mit

<math>a(u_h, v)=L(v)\,</math> für alle <math>v \in V_h</math>.

Nach dem Lemma von Lax-Milgram gibt es für beide Probleme eine eindeutige Lösung.

Aussage des Lemmas

Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann besagt das Lemma von Céa:

<math>\|u-u_h\|\le \frac{C}{\alpha} \inf_{v_h \in V_h} \left(\|u-v_h\|\right)</math>.

Dies bedeutet, dass die Approximation der Lösung <math>u_h</math> aus dem Unterraum <math>V_h</math> höchstens um die Konstante <math>\tfrac{C}{\alpha}</math> schlechter ist als die beste Approximation für <math>u</math> im Raum <math>V_h</math>, sie ist quasi-optimal.

Bemerkungen

Mit einer symmetrischen Bilinearform verkleinert sich die Konstante auf <math>\textstyle \sqrt\frac{C}{\alpha}</math>,<ref name="emmrich 2004"/> der Beweis ist weiter unten angegeben.

Das Lemma von Céa gilt auch für komplexe Hilberträume, indem eine Sesquilinearform <math>a(\cdot, \cdot)</math> statt der Bilinearform verwendet wird. Die Koerzivität wird dann zu <math>|a(v, v)| \ge \alpha \|v\|^2</math> für alle <math>v \in V</math>, man beachte die Betragszeichen um <math>a(v, v)</math>.

Die Approximationsgüte des Ansatzraums <math>V_h</math> bestimmt den Approximationsfehler <math>\|u-u_h\|</math> stark.

Sonderfall: Symmetrische Bilinearform

Die Energienorm

In vielen Anwendungen ist die Bilinearform <math>a</math> symmetrisch, also <math>a(v, w) = a(w, v)</math> für alle <math>v, w </math> in <math>V</math>. Mit den Voraussetzungen des Céa-Lemmas ergibt sich, dass <math>a</math> ein Skalarprodukt von <math>V</math> ist. Die implizierte Norm <math>\|v\|_a=\sqrt{a(v, v)}</math> wird Energienorm genannt, weil sie in vielen physikalischen Problemen eine Energie darstellt. Diese Norm ist äquivalent zur Norm <math>\|\cdot\|</math> des Vektorraums <math>V</math>.

Das Lemma von Céa in der Energienorm

Datei:Cea lemma illust.svg

Die Unterraum-Lösung <math>u_h</math> ist eine Projektion von <math>u</math> auf den Unterraum <math>V_h</math> bezüglich des Skalarprodukts <math>a</math>.

Aus der Galerkin-Orthogonalität von <math>u-u_h</math> mit <math>V_h</math> und der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ergibt sich

<math>\|u-u_h\|_a^2 = a(u-u_h,u-u_h) = a(u-u_h,u-v) \le \|u-u_h\|_a \cdot \|u-v\|_a</math> für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>.

Somit lautet das Lemma von Céa in der Energienorm:

<math>\|u-u_h\|_a\le \|u-v\|_a</math> für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>.

Man beachte, dass die Konstante <math>\tfrac{C}{\alpha}</math> auf der rechten Seite verschwunden ist.

Das bedeutet, dass die Unterraum-Lösung <math>u_h</math> die beste Approximation der Lösung <math>u</math> bezüglich der Energienorm ist. Geometrisch lässt sich <math>u_h</math> als Projektion bezüglich <math>a</math> von <math>u</math> auf den Unterraum <math>V_h</math> interpretieren.

Folgerungen

Damit lässt sich die schärfere Schranke für symmetrische Bilinearformen für die gewöhnliche Norm <math>\| \cdot \|</math> des Vektorraums <math>V</math> zeigen. Aus

<math>\alpha \|u-u_h\|^2 \le a(u-u_h,u-u_h) = \|u-u_h\|_a^2 \le \|u - v\|_a^2 \le C \|u-v\|^2</math> für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>

folgt

<math>\|u-u_h\| \le \sqrt{\frac{C}{\alpha}} \|u-v\|</math> für alle <math>v</math> in <math>V_h</math>.

Beweis

Der Beweis ist nicht lang und führt die Notwendigkeit der Voraussetzungen vor Augen.

Galerkin-Orthogonalität

Die in der Problemstellung gegebenen Gleichung <math>a(u, v)=L(v)</math> für alle <math>v \in V</math> und <math>a(u_h, v)=L(v)</math> für alle <math>v \in V_h</math> werden voneinander abgezogen, was wegen <math>V_h \sub V</math> möglich ist. Die resultierende Gleichung lautet <math>a(u - u_h, v)=0</math> für alle <math>v \in V_h</math> und wird Galerkin-Orthogonalität genannt.

Abschätzung

Die Bilinearform <math>a</math> ist koerziv

<math>\alpha \|u-u_h\|^2 \le a(u-u_h,u-u_h)</math>

Addition von 0, sei <math>v_h \in V_h</math>

Mit Bilinearität von <math>a</math>

Der zweite Term ist 0 wegen der Galerkin-Orthogonalität, da <math>v := v_h - u_h \in V_h</math>

Die Bilinearform <math>a</math> ist stetig

Die Gleichung kann durch <math>\|u-u_h\|</math> geteilt werden. Da <math>v_h</math> beliebig aus <math>V_h</math> gewählt ist, kann auch das Infimum gewählt werden, wodurch wir die Aussage erhalten.

Literatur

D. Braess: Finite Elemente - Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie. 4. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-72449-0 (Kapitel II §4.2 und Kapitel III §1.1).

Jean Céa, Approximation variationnelle des problèmes aux limites, Annales de l'institut Fourier, Band 14, Nr. 2, 1964, S. 345–444, PDF, 5 MB (Original-Arbeit von J. Céa)

Einzelnachweise

<references> <ref name="emmrich 2004"> E. Emmrich: Gewöhnliche und Operator-Differentialgleichungen - Eine integrierte Einführung in Randwertprobleme und Evolutionsgleichungen für Studierende. 1. Auflage. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-528-03213-5, Seite 112</ref> </references>