Quelltext der Seite Konvergenzsatz von Blaschke

Der '''Konvergenzsatz von Blaschke'''  ist ein [[Lehrsatz]] der [[Komplexe Analysis|komplexen Analysis]], welcher auf den österreichischen Mathematiker [[Wilhelm Blaschke]] zurückgeht.<ref>{{Literatur |Autor=Blaschke |Titel=Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen |Sammelwerk=Ber. Verhandl. Kön. Sächs. Ges. Wiss. Leipzig |Band=67 |Datum=1915 |Seiten=194 ff}}</ref><ref>Burckel: S. 219, 469.</ref><ref name="Remmert">Remmert, Schumacher: S. 151.</ref> Der Satz ist eng verwandt mit dem [[Satz von Vitali (Funktionentheorie)|Konvergenzsatz von Vitali]]. Er gibt ein [[Kriterium]] für die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] von [[Funktionenfolge#Gleichmäßige Beschränktheit|Folgen]] [[Holomorphe Funktion|holomorpher Funktionen]] auf der [[Einheitskugel#Einheitskugel in endlichdimensionalen Räumen|offenen Einheitskreisscheibe]].

In seinem Originalbeweis von 1915 greift Wilhelm Blaschke wesentlich auf das [[Satz von Montel|Montelsche Auswahlprinzip]] zurück. Im Jahre 1923 haben [[Tibor Radó]] und [[Charles Loewner|Karl Löwner]] einen direkten Beweis des Satzes unter Benutzung ''expliziter [[Abschätzung]]en'' geliefert<ref>{{Literatur |Autor=Radó, Löwner |Titel=Bemerkung zu einem Blaschkeschen Konvergenzsatze. |Sammelwerk=Jahresber. DMV |Band=32 |Datum=1923 |Seiten=198 ff}}</ref><ref name="Buckel">Burckel: S. 219.</ref>.

== Formulierung des Konvergenzsatzes ==
Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:<ref name="Buckel" /><ref name="Remmert" />

Gegeben sei auf der Einheitskreisscheibe <math> \mathbb{E} = \{ z  \colon \,   | z | < 1 \} \subset \Complex </math>  eine Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb N}</math> holomorpher Funktionen <math>{f_n} \colon \, \mathbb{E} \to \Complex </math>  <math>(n \in \N)</math>, welche  [[Funktionenfolge#Gleichmäßige Beschränktheit|gleichmäßig beschränkt]] sei:
:<math> \sup_{n \in \N, z \in  \mathbb{E} } { |{f_n(z)} | } <  \infty  </math>.

Dazu existiere eine [[Zahlenfolge]] von [[Paarweise verschieden|verschiedenen]] Zahlen <math>z_k \in  \mathbb{E} </math>  <math>(k \in \N)</math> derart, dass folgende Bedingungen erfüllt seien:

#<math> \sum_{k=1}^\infty (1- { | z_k | } ) = \infty  </math>.
#Für jedes &nbsp; <math> k  \in \N</math>  &nbsp; [[Grenzwert (Folge)#Notation|existiert]] &nbsp;  <math> \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(z_k) </math>.

''Dann ist die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb N}</math> in <math> \mathbb{E} </math> [[kompakt konvergent]].''

== Literatur ==
'''Originalarbeiten'''
*{{cite journal
|author=W. Blaschke
|title=Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen
|journal=Ber. Verhandl. Kön. Sächs. Ges. Wiss. Leipzig
|volume=67
|year=1915
|pages=194–200}}
*{{cite journal
|author=K. Löwner; T. Radó
|title=Bemerkung zu einem Blaschkeschen Konvergenzsatze
|journal=Jahresber. Deutsch. Math. Verein
|volume=32
|year=1923
|pages=198–200}}

'''Monographien'''
* {{Literatur
   |Autor=Robert B. Burckel
   |Titel=An Introduction to Classical Complex Analysis
   |Verlag=Birkhäuser Verlag
   |Ort=Basel [u.&nbsp;a.]
   |Datum=1979
   |ISBN=3-7643-0989-X}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Reinhold Remmert]], Georg Schumacher
   |Titel=Funktionentheorie 2
   |Reihe=Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik
   |Auflage=3., neu bearbeitete
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin [u.&nbsp;a.]
   |Datum=2007
   |ISBN=978-3-540-40432-3}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Blaschke, Konvergenzsatz von]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]