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Konvergenzsatz von Blaschke

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Der Konvergenzsatz von Blaschke ist ein Lehrsatz der komplexen Analysis, welcher auf den österreichischen Mathematiker Wilhelm Blaschke zurückgeht.<ref>Blaschke: Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen. In: Ber. Verhandl. Kön. Sächs. Ges. Wiss. Leipzig. Band 67, 1915, S. 194 ff.</ref><ref>Burckel: S. 219, 469.</ref><ref name="Remmert">Remmert, Schumacher: S. 151.</ref> Der Satz ist eng verwandt mit dem Konvergenzsatz von Vitali. Er gibt ein Kriterium für die Konvergenz von Folgen holomorpher Funktionen auf der offenen Einheitskreisscheibe.

In seinem Originalbeweis von 1915 greift Wilhelm Blaschke wesentlich auf das Montelsche Auswahlprinzip zurück. Im Jahre 1923 haben Tibor Radó und Karl Löwner einen direkten Beweis des Satzes unter Benutzung expliziter Abschätzungen geliefert<ref>Radó, Löwner: Bemerkung zu einem Blaschkeschen Konvergenzsatze. In: Jahresber. DMV. Band 32, 1923, S. 198 ff.</ref><ref name="Buckel">Burckel: S. 219.</ref>.

Formulierung des Konvergenzsatzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:<ref name="Buckel" /><ref name="Remmert" />

Gegeben sei auf der Einheitskreisscheibe <math> \mathbb{E} = \{ z \colon \, | z | < 1 \} \subset \Complex </math> eine Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb N}</math> holomorpher Funktionen <math>{f_n} \colon \, \mathbb{E} \to \Complex </math> <math>(n \in \N)</math>, welche gleichmäßig beschränkt sei:

<math> \sup_{n \in \N, z \in \mathbb{E} } { |{f_n(z)} | } < \infty </math>.

Dazu existiere eine Zahlenfolge von verschiedenen Zahlen <math>z_k \in \mathbb{E} </math> <math>(k \in \N)</math> derart, dass folgende Bedingungen erfüllt seien:

  1. <math> \sum_{k=1}^\infty (1- { | z_k | } ) = \infty </math>.
  2. Für jedes   <math> k \in \N</math>   existiert   <math> \lim_{n\rightarrow \infty}f_n(z_k) </math>.

Dann ist die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb N}</math> in <math> \mathbb{E} </math> kompakt konvergent.

Literatur

Originalarbeiten

Monographien

  • Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u. a.] 1979, ISBN 3-7643-0989-X.
  • Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2 (= Springer-Lehrbuch – Grundwissen Mathematik). 3., neu bearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin [u. a.] 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

Einzelnachweise

<references />

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