Quelltext der Seite Kiepert-Hyperbel

[[Datei:Kiepert hyperbola 1.svg|mini|hochkant=2.0|Kiepert-Hyperbel mit [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten (Dreieckszentren)]]]]
Die '''Kiepert-Hyperbel''' eines Dreiecks, benannt nach [[Ludwig Kiepert]], ist eine spezielle [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]], die durch die drei Eckpunkte des Dreiecks und eine Reihe seiner [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkte]] verläuft.

== Definition ==
[[Datei:Kiepert hyperbola1.svg|mini|hochkant=1.5|Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math>, Kiepert-Dreieck: <math> \triangle DEF </math>, Perspektivitätszentrum <math> P</math>, gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)]]
An den Seiten eines Dreiecks <math>\triangle ABC </math> werden drei [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnliche]] [[Dreieck|gleichschenklige Dreiecke]] <math> \triangle ABF </math>, <math> \triangle BCD </math> und <math> \triangle ACE </math> angefügt, und zwar jeweils mit einer Seite des gegebenen Dreiecks als Basis. Dann bilden die Spitzen der drei gleichschenkligen Dreiecke ein neues Dreieck <math> \triangle DEF </math>, das als '''Kiepert-Dreieck''' bezeichnet wird. Das Kiepert-Dreieck <math> \triangle DEF </math> und das Ausgangsdreieck <math> \triangle ABC </math> sind aufgrund des [[Satz von Kiepert|Satzes von Kiepert]] perspektivisch, das heißt, die Geraden <math>FC </math>, <math>AE </math> und <math>BD </math> schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt <math> P</math>, dem [[Zentralkollineation|Perspektivitätszentrum]].

Die '''Kiepert-Hyperbel''' des Dreiecks <math> \triangle ABC </math> ist nun definiert als der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] aller dieser Perspektivitätszentren, die man erhält, wenn man die Basiswinkel der ähnlichen Dreiecke alle Winkel zwischen <math>-90^\circ </math> und <math>90^\circ </math> durchlaufen lässt.

== Bezeichnungen und Koordinaten ==

Der Basiswinkel <math>\phi</math> der angefügten gleichschenkligen Dreiecke wird positiv genommen, wenn diese nach außen gerichtet sind, andernfalls negativ. Das zugehörige Kiepert-Dreieck wird mit <math>\mathcal K_\phi</math> bezeichnet, das Perspektivitätszentrum mit <math>K_\phi</math>.

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] von <math>K_\phi</math> sind
: <math> \left( \frac{1}{S_A + S_\phi} : \frac{1}{S_B + S_\phi}: \frac{1}{S_C + S_\phi} \right).</math>
Dabei werden die Abkürzungen <math>S_A = \tfrac{b^2+c^2-a^2}{2}</math> (<math>S_B, S_C</math> entsprechend) und <math>S_\phi = 2 \Delta \cot\phi</math> der [[Conway-Dreiecksnotation]] verwendet. <math>a, b, c</math> stehen für die Seitenlängen, <math>\Delta</math> für den Flächeninhalt des Dreiecks. 

Die Formel für die Kiepert-Hyperbel in baryzentrischen Koordinaten ist
: <math>(b^2-c^2)yz + (c^2-a^2)xz + (a^2-b^2)xy=0.\,</math>

Der Mittelpunkt der Kiepert-Hyperbel hat die baryzentrischen Koordinaten
: <math>(b^2-c^2)^2 : (c^2-a^2)^2 : (a^2-b^2)^2,\,</math>
die [[Kimberling-Nummer]] X(115) und liegt auf dem [[Feuerbachkreis|Feuerbach-Kreis]] (Neun-Punkte-Kreis).<ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X115 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(115) |sprache=en |abruf=2025-01-20}}</ref>

== Eigenschaften ==
[[Datei:Kiepert hyperbola2.gif|mini|hochkant=1.25|Kiepert-Hyperbel]]
Bei der Kiepert-Hyperbel handelt es sich um eine [[Hyperbel (Mathematik)|gleichseitige Hyperbel]], die unter anderem durch folgende Punkte geht:
* die Ecken des gegebenen Dreiecks,<ref name="Eddy-Fritsch-193">{{Literatur |Autor=R. H. Eddy, R. Fritsch |Titel=The Conics of Ludwig Kiepert |Sammelwerk=Mathematics Magazine |Band=67 |Nummer=3 |Datum=1994-06 |Seiten=193 |Online=https://epub.ub.uni-muenchen.de/4550/1/Fritsch_Rudolf_4550.pdf}}</ref>
* den [[Höhenschnittpunkt]],<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
* den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]],<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
* den [[Spieker-Punkt]],
* die beiden [[Napoleon-Punkt]]e,
* die beiden [[Fermat-Punkt]]e,<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
* den [[Tarry-Punkt]],
* den [[Brocard-Punkte#Dritter Brocard-Punkt|dritten Brocard-Punkt]],<ref name="Eddy-Fritsch-193" />
* die beiden [[Vecten-Punkt]]e.
Die Kiepert-Hyperbel ist [[Isogonal konjugierte Punkte|isogonal konjugiert]] zur [[Brocard-Achse]].

== Literatur ==
* R. H. Eddy, R. Fritsch: [https://epub.ub.uni-muenchen.de/4550/1/Fritsch_Rudolf_4550.pdf ''The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle'']. Mathematics Magazine, Band 67, Nr. 3 (Juni, 1994), S. 188–205
* Cristoph Pöppe: ''Napoleons Punkt und Kieperts Hyperbel''. In: ''Spektrum der Wissenschaft'', August 2017

== Weblinks ==
{{commonscat|Kiepert's hyperbola}}
* {{MathWorld |id=KiepertHyperbola |title=Kiepert Hyperbola}}
* [https://www.geogebra.org/m/XDSXasUJ Kiepert-Hyberbel] – Animation mit GeoGebra

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]