Quelltext der Seite Formale Potenzreihe

Die '''formalen Potenzreihen''' in der [[Mathematik]] sind eine Verallgemeinerung der [[Polynom]]e der [[Polynomring]]e. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die [[Ring (Algebra)|ringtheoretischen]] Eigenschaften im Vordergrund, während bei den [[Potenzreihe]]n der [[Analysis]] der Schwerpunkt auf den analytischen, den {{nowrap|([[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]-)Eigenschaften,}} liegt.

Gemeinsam ist, dass die [[Koeffizientenvergleich|Koeffizienten]] aus einem Ring <math>R</math> genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein [[Vollständiger Raum#Vervollständigung|vollständiger]] [[Ring (Algebra)|Ring]] ist, meist der [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\R</math> der [[reelle Zahl|reellen]] oder <math>\Complex</math> der [[komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].
Ein anderer Unterschied ist, dass die [[Variable (Mathematik)|„Variable“]] eine ''[[Unbestimmte]]'' ist, die oft mit Großbuchstaben <math>X</math> (oder <math>T</math>) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ ''nicht'' zugewiesen wird.
Die im [[Nullpunkt]] [[Analytische Funktion|analytischen]] Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft [[#Formale Differentiation|differenzierbar]] sind und dem [[Analytische Funktion#Eigenschaften|Koeffizientenvergleich]] unterliegen.

Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die '''formalen Laurent-Reihen''' in diesem Artikel mitbehandelt.
Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall.

Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen [[Computeralgebra]]-Systemen.

== Definitionen ==
=== Formale Potenzreihe ===
Für einen [[kommutativer Ring|kommutativen Ring]] <math>R</math> mit Einselement (den ''Ausgangsring'') bezeichnet <math>R[[X]]</math> den Ring der formalen Potenzreihen über <math>R</math> in der Unbestimmten <math>X</math>. Er ist [[isomorph]] zum Ring <math>R^{\N_0}</math> der [[Folge (Mathematik)|Folgen]]
:<math>(a_0, a_1,\dotsc)</math>
mit <math>a_n \in R </math>, so dass
:<math>a_0+a_1 X+a_2 X^2+\dotsb = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n </math>
die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge <math>(0,1,0,0,\dotsc) </math> der Unbestimmten <math>X </math> entspricht.

Der Ring <math>R</math> in <math>R[[X]]</math> wird durch die Abbildung
:<math> R \ni a \mapsto (a,0,0,\dotsc)</math>
eingebettet.

Die Folgenglieder <math>a_n </math> werden ''Koeffizienten'' genannt. Vergleiche dazu auch [[Polynomring]].

=== Formale Laurent-Reihe ===
Der Ring <math>R(\!(X)\!)</math> ist die [[Lokalisierung (Algebra)#Lokalisierung_an_einem_Element|Lokalisierung]] von <math>R[[X]]</math> am Element <math>X</math>. Er wird Ring der formalen [[Laurent-Reihe]]n genannt. Er ist genau dann ein Körper, wenn <math>R</math> ein Körper ist, und stimmt dann mit dem [[Quotientenkörper]] von <math>R[[X]]</math> überein.

Eine formale Laurent-Reihe <math>A(X)\in R(\!(X)\!)</math> kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form
:<math>A(X) = \sum_{n=m}^\infty a_n X^n </math> mit <math>m\in\Z</math>, <math>a_n\in R</math>.
Diese Reihen können in die [[Menge (Mathematik)|Menge]]<ref>die unter der noch zu definierenden Addition eine additive Gruppe ist, bei der die nachfolgende Definition der Multiplikation aber nicht funktioniert</ref> <math>R^{\Z}</math> von unendlichen Folgen eingebettet und auch als
: <math>\begin{array}{ll}
A(X) & = \quad \sum_{n\in\Z} a_n X^n \\
& = \quad \left(a_n\right)_{n\in\Z} \\
& = \quad (\dotsc, a_{-1}, a_0, a_1, \dotsc)
\end{array}</math>
geschrieben werden unter der Vorschrift, dass [[fast alle]] Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten <math>X</math> entspricht die Folge:
:{| style="text-align:left"
|-
|<math> X = (\dotsc,\,0,\,0,</math>||<math>0,</math>||<math>1,\,0,\,0,\dotsc) \qquad \in R^{\Z}</math>
|-
| ||<math>\uparrow</math>||<math>\uparrow</math>
|-
| style="text-align:right" | Index &nbsp; || 0 || 1
|}

=== Ordnung ===
Die Funktion
:{|
|-
|<math>\operatorname{ord}_X \colon </math> || <math> R(\!(X)\!) \to </math> || <math>\Z \cup \{+\infty\}</math>
|-
| || rowspan="2" style="vertical-align:middle" | <math>A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n \; \mapsto \begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
</math> || <math>+\infty</math> , || falls &nbsp; <math>A(X) = 0</math> (die ''Nullreihe'')
|-
| || <math>\min\left\{n\in\Z \mid a_n\ne 0\right\}</math>, || falls &nbsp; <math>A(X) \neq 0</math>
|}
weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten <math>X</math> ihre ''Ordnung'' in der Unbestimmten <math>X</math> zu. Das Minimum <math>\min\left\{n\in\Z \mid a_n\ne 0\right\}</math> existiert für <math>A \ne 0 </math>, weil es nur endlich viele Indizes <math>n < 0 </math> mit <math>a_n\ne 0 </math> gibt.

Hierbei gelten für <math> \pm\infty </math> die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:
: Für alle <math> n \in \Z </math> gilt <math>-\infty < n < +\infty </math> und <math> +\infty \pm n = +\infty </math>.

Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen
: <math>\begin{array}{lll}
R(\!(X)\!) & = \quad \bigl\{A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n & \big| \; \operatorname{ord}_X(A) > -\!\infty \bigr\} \\
& = \quad \bigl\{\left(a_n\right)_{n\in\Z} \in R^\Z & \big| \; \exists \, u \in \Z \, \forall \, n \in \Z \colon a_n \ne 0 \implies n \ge u \bigr\}
\end{array}</math>
mit ''nach unten beschränkter'' Ordnung und die formalen Potenzreihen
: <math>\begin{array}{lll}
R[[X]] & = \quad \bigl\{A(X) \in R(\!(X)\!) & \big| \; \operatorname{ord}_X(A) \ge 0 \bigr\} \\
& = \quad \bigl\{(\dotsc, a_{-1}, a_0, a_1, \dotsc) \in R^\Z & \big| \; \forall \, n \in \Z \colon a_n \ne 0 \implies n \ge 0 \bigr\}
\end{array}</math>
als solche mit ''nicht-negativer'' Ordnung charakterisieren.

Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient <math>a_n </math> einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe <math>A(X) </math>, falls auf ihn mit einem Index <math>n < \operatorname{ord}_X(A) </math> zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.

=== Addition und Multiplikation ===
Sei mit
:<math>B(X) = \sum_{n\in\Z} b_n X^n </math>
eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition
:<math>A(X) + B(X) = \sum_{n\in\Z} (a_n+b_n) X^n </math>
[[Koordinatenraum|komponentenweise]]. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.

Die Multiplikation
:<math>A(X) \; B(X) = \sum_{n=\operatorname{ord}_X(A)+\operatorname{ord}_X(B)}^\infty \Bigl( \sum_{i=\operatorname{ord}_X(A)}^{n - \operatorname{ord}_X(B)} a_i \, b_{n-i}\Bigr) X^n </math>
ist eine [[Diskrete Faltung|Faltung]].
Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.

== Eigenschaften ==
* Für die Ringoperationen Addition und Multiplikation gelten die Gesetze der [[Ring (Algebra)#Ring|kommutativen Ringe]].
* Die formale Potenz- oder Laurent-Reihe, bei der alle Koeffizienten 0 sind, heißt ''Nullreihe''. Sie ist das [[Neutrales Element|neutrale Element]] 0 der Addition in beiden Ringen, <math>R[[X]]</math> und <math>R(\!(X)\!)</math>.
* Ein ''Skalar'' <math>a \in R </math> multipliziert sich wie in der üblichen [[Skalarmultiplikation]]. Damit ist 1 die ''Einsreihe''.
* {{Anker|Koeffizientenvergleich}}Koeffizientenvergleich: Zwei formale Potenz- oder Laurent-Reihen <math>\textstyle A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n </math> und <math>\textstyle B(X) = \sum_{n\in\Z} b_n X^n </math> sind genau dann gleich, wenn sie in ''allen'' Koeffizienten
::<math>\forall n\in\Z : a_n = b_n </math>
: übereinstimmen.
* Die [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] von <math>R[[X]]</math> sind genau diejenigen formalen Potenzreihen, deren ''Absolutglied'' (konstantes Glied)  <math>a_0</math> eine Einheit in <math>R</math> ist (s.&nbsp;a. den [[#Multiplikatives Inverses|§ Multiplikatives Inverses]]).
* Ist <math>R</math> ein [[noetherscher Ring]], ein [[Integritätsring]] oder ein [[lokaler Ring]], so gilt das jeweils auch für <math>R[[X]]</math>.
* Der [[Polynomring]] <math>R[X]</math> lässt sich in <math>R[[X]]</math> [[homomorph]] (und [[Injektive Funktion|injektiv]]) einbetten als ein Ring von Folgen mit nur endlich vielen nicht-verschwindenden Koeffizienten.<br />Ist <math>K</math> ein Körper, so lässt sich der rationale Funktionenkörper <math>K(X)</math> in <math>K(\!(X)\!)</math> homomorph (und injektiv) einbetten.<br />Es gelten die Einbettungen
::<math>\begin{array}{ccc}
K[X] & \rightarrow & K[[X]] \\
\downarrow & & \downarrow \\
K(X) & \rightarrow & K(\!(X)\!)
\end{array}</math>
: mit den Quotientenkörpern in der unteren Zeile.
* Ist <math>K</math> ein [[Körpertheorie|Körper]], so ist <math>K[[X]]</math> ein vollständiger [[diskreter Bewertungsring]] mit dem [[diskreter Bewertungsring|uniformisierenden Element]] <math>X</math>. Er ist die [[Vervollständigung (Kommutative Algebra)|Vervollständigung]] des Polynomrings <math>K[X]</math> bezüglich des [[Ideal (Ringtheorie)|Ideals]] <math>(X)</math>. Sein [[Restklassenkörper]] ist <math>K</math>, sein [[Quotientenkörper]] der Körper der formalen [[Laurent-Reihe]]n <math>K(\!(X)\!)</math>.
* Umgekehrt ist nach den Struktursätzen von [[Irving S. Cohen]] jeder vollständige diskrete Bewertungsring gleicher [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] isomorph zum Ring der formalen Potenzreihen über seinem Restklassenkörper.

== Operationen und weitere Eigenschaften ==
=== Koeffizientenextraktion ===
Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad <math>m \in \Z </math> aus der Potenz- oder Laurent-Reihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n </math> in <math>X </math> wird geschrieben als
:<math> \left[ X^m \right] A(X). </math>
Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die {{nowrap|<math>m</math>-te}} Komponente in <math>R^{\Z}</math>. Damit ist
:<math> \left[ X^m \right] A(X) = \left[ X^m \right] \sum_{n\in\Z} a_n X^n = a_m</math>
und
:<math>A(X) = \sum_{n\in\Z} X^n \left[ Y^n \right] A(Y) </math> .
Bei formalen Potenzreihen <math>A(X) </math> ist für <math>m < 0 </math> definitionsgemäß {{nowrap|<math> \left[ X^m \right] A(X) = 0</math>.}}

=== Leitkoeffizient ===
Die Ordnung <math>\operatorname{ord} </math> hat eine gewisse Analogie zur [[Grad (Polynom)|Gradfunktion]] in Polynomringen. So heißt der Koeffizient
:{|
|-
| rowspan="2" style="vertical-align:middle" | <math>l(A) := \begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
</math> || style="width:15.5em" | <math>\textstyle a_{\operatorname{ord}(A)} = \left[ X^{\operatorname{ord}(A)} \right] A(X) </math> , || falls &nbsp; <math>A(X) \neq 0</math>
|-
| <math>0</math> , || falls &nbsp; <math>A(X) = 0</math>
|}
auch ''Leitkoeffizient''.

Es gilt für alle <math> A, B \in R(\!(X)\!)</math>
* <math>\operatorname{ord}(A\cdot B)\geq\operatorname{ord}(A)+\operatorname{ord}(B)</math>
:(Enthält <math>R</math> keine [[Nullteiler]]&nbsp;– präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler&nbsp;–, dann gilt die Gleichheit.)
* <math>\operatorname{ord}(A+B)\geq\min\{\operatorname{ord}(A),\operatorname{ord}(B)\}</math>.

Die Funktion
: <math>|A| := 2^{-\!\operatorname{ord}(A)}</math>
erfüllt alle Forderungen einer nicht-archimedischen [[Pseudobewertung]].

Ist <math>K</math> ein Körper, dann ist <math>\operatorname{ord} </math> eine (diskrete) [[Bewertungstheorie|Bewertung]] (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. ''valuation'') mit dem Ring <math>K[[X]]</math> als dem (oben erwähnten) zugehörigen [[Bewertungsring]].
Man erkennt die <math>I</math>-adische Topologie wieder, wo <math>I := (X)</math> das von <math>X</math> erzeugte [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] der Vielfachen von <math>X</math> ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und <math>K</math> der Restklassenkörper.

=== Potenzierung ===
Für <math> n\in\N_0 </math> ist
:<math> \bigl( A(X) \bigr)^n = \left( \sum_{k=0}^\infty a_k X^k \right)^n =: \sum_{m=0}^\infty c_m X^m </math>
mit
:<math> c_0 = a_0^n </math>
und rekursiv
:<math> c_m \, m \, a_0 = \sum_{k=1}^m (kn - m+k) \, a_{k} \, c_{m-k} </math> &nbsp; &nbsp; für <math> m\in\N </math>,
also beispielsweise
:<math> c_1 = \binom{n}1 a_0^{n-1} a_1 </math>,
:<math> c_2 = \binom{n}1 a_0^{n-1} a_2 + \binom{n}2 a_0^{n-2} a_1^2 </math>,
:<math> c_3 = \binom{n}1 a_0^{n-1} a_3 + \binom{n}{n\!-\!2,1,1} a_0^{n-2} a_1 a_2 + \binom{n}3 a_0^{n-3} a_1^3 </math>, ... .

Die <math>c_m </math> sind Polynome in den <math>a_k </math> mit ganzzahligen [[Multinomialkoeffizient|(multinomialen) Koeffizienten]], auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach <math>c_m </math> aufzulösen ist, wenn <math>m </math> und <math>a_0 </math> im Ring <math>R </math> invertierbar sind.
(Für den Fall <math>a_0=0 </math> s.&nbsp;a. den [[#Verkettung (Komposition)|§ Komposition]].)

=== Multiplikatives Inverses ===
Die formale Potenzreihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n \in R[[X]] </math> hat genau dann ein multiplikatives Inverses <math>\textstyle B(X) := \sum_{n=0}^\infty b_n X^n \in R[[X]] </math>, wenn das Absolutglied
:<math>a_0 = \left[ X^0 \right] A(X) </math>
invertierbar ist im Ring <math>R </math>. Dann ist auch
:<math>\operatorname{ord}_X(A) = 0 </math>
und rekursiv
:<math>\begin{align}
b_0 &= a_0^{-1} \\
b_n &= -a_0^{-1} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}\qquad \qquad (n \ge 1).
\end{align}</math>
Ist <math>K </math> ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in <math>K[[X]]</math>, wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch <math>X </math> teilbar ist.

{{Anker|Zwischenschritt}}Ist bei der formalen Potenzreihe <math>A(X) </math> das Absolutglied <math>a_0 = 0 </math> oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten <math>l(A) = a_{\operatorname{ord}_X(A)} </math> die Reihe <math>A(X) </math> in <math>R(\!(X)\!) </math> über den Zwischenschritt
:<math>B(X) := X^{-\!\operatorname{ord}_X(A)} A(X) \in K[[X]] </math>
multiplikativ invertieren mit dem Ergebnis:
:<math>A(X)^{-1} = X^{-\!\operatorname{ord}_X(A)} B(X)^{-1} \in K(\!(X)\!) </math>

Ist <math>K </math> ein Körper, dann ist <math>K(\!(X)\!)</math> der [[Quotientenkörper]] von <math>K[[X]]</math>.

=== Division ===
Ist der Divisor <math>A(X) </math> invertierbar in <math>R[[X]] </math>, dann hat der Quotient
:<math>C(X) = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n := Z(X)/A(X) = \Bigl(\sum_{n=0}^\infty z_n X^n \Bigr) \; / \; \Bigl(\sum_{n=0}^\infty a_n X^n \Bigr) </math>
zweier Potenzreihen <math>Z(X) </math> und <math>A(X) </math> nach dem Rechenschema
:{| style="text-align:right"
|-
! colspan="10" | || rowspan="3" style="text-align:right; | {{vertikal|Quotient}}
|- style="height:2.1em;"
! colspan="3" style="text-align:left;vertical-align:bottom" | Dividend || || || colspan="4" style="text-align:left;vertical-align:bottom" | Divisor
|- style="height:2.1em;background:#B3B7FF;"
| <math>(z_0 </math> || <math>+ z_1 X </math> || <math>+ z_2 X^2 </math> || style="text-align:left" | <math>+ \dotsb ) </math> || style="background:#FFFFFF;" | <math>/ </math> || style="background:#FFCBCB;" | <math>(a_0 </math> || style="background:#FFCBCB;" | <math>+ a_1 X </math> || style="background:#FFCBCB;" | <math>+ a_2 X^2 </math> || style="background:#FFCBCB;" | <math>+ \dotsb ) </math> || style="background:#FFFFFF;text-align:left;" | <math>= </math>
|- style="height:2.1em;background:#EAECF0;"
| <math>{-a_0 \tfrac{z_0}{a_0}} </math> || <math>{- a_1 c_0 X} </math> || <math>{- a_2 c_0 X^2} </math> || style="text-align:left;" | <math>- \dotsb </math> || colspan="6" style="background:#FFFFFF;" | <math>\tfrac{z_0}{a_0} \;\, = </math> || style="background:#B9FFC5;" | <math> c_0 </math>&nbsp;&nbsp;
|- style="height:2.1em;"
| || <math> (z_1\!-\!a_1 c_0) X </math> || <math> +(z_2\!-\!a_2 c_0) X^2 </math> || style="text-align:left" | <math>+ \dotsb </math>
|- style="height:2.1em;background:#EAECF0;"
| style="background:#FFFFFF;" | || <math> {-a_0 \tfrac{z_1 - a_1 c_0}{a_0} X} </math> || <math> {-a_1 c_1 X^2} </math> || style="text-align:left;" | <math>- \dotsb </math> || colspan="6" style="background:#FFFFFF;" | <math>+ \tfrac{z_1 - a_1 c_0}{a_0} X = </math> || style="background:#B9FFC5;" | <math> +c_1 X </math>
|- style="height:2.1em;"
| || || <math> (z_2\!-\!a_2 c_0\!-\!a_1 c_1) X^2 </math> || style="text-align:left" | <math>+ \dotsb </math>
|- style="height:2.1em;background:#EAECF0;"
| style="background:#FFFFFF;" | || style="background:#FFFFFF;" | || <math> {\; \; -a_0 \tfrac{z_2 - a_2 c_0 - a_1 c_1}{a_0} X^2} </math> || style="text-align:left;" | <math>- \dotsb </math> || colspan="6" style="background:#FFFFFF;" | <math>+ \tfrac{z_2 - a_2 c_0 - a_1 c_1}{a_0} X^2 = </math> || style="background:#B9FFC5;" | <math> +c_2 X^2 </math>
|- style="height:2.1em;"
| || || || style="text-align:left;" | <math>+ \dotsb </math>
|- style="height:2.1em;"
| || || || style="background:#EAECF0;text-align:left;" | <math>- \dotsb </math> || || || || || || || style="text-align:left;background:#B9FFC5;" | <math>+ \dotsb </math>
|}
der in der Monomordnung gespiegelten [[Polynomdivision#Manueller Ablauf|Polynomdivision]] rekursiv die Koeffizienten
:<math>\begin{align}
c_n =& a_0^{-1} \left(z_n - \sum_{i=1}^n a_i c_{n-i}\right) \qquad \qquad (n \ge 0). \\
\end{align}</math>

Der Zwischenschritt im [[#Zwischenschritt|§ Multiplikatives Inverses]] deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in <math>R(\!(X)\!) </math> ausbauen lässt.

=== Inverses von Polynomen ===
Für Körper <math>K</math> lässt sich der Körper <math>K(X)</math> der [[Rationale Funktion|rationalen Funktionen]] (Polynomquotienten) der Form
:<math>
\frac{Z(X)}{A(X)} = \frac{z_0 + z_1 X + \dotsb + z_e X^e}{a_0 + a_1 X + \dotsb + a_d X^d}
</math>
in den Körper <math>K(\!(X)\!)</math> in ähnlicher Weise wie <math>K[X]</math> in <math>K[[X]]</math> einbetten.
Ein wichtiges Beispiel ist
:<math>K(X) \ni \quad \frac{1}{1-X} = \sum_{n=0}^\infty X^n \quad \in K(\!(X)\!) </math>.
Allgemeiner:<br />Ist
:<math>A(X) = \sum_{n=0}^d a_n X^n </math>
ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit <math>k:=\operatorname{ord}_X(A) \in \N_0 </math> der (Leit-)Koeffizient <math>a_k \ne 0</math> invertierbar in <math>K </math> und mit
:<math>C(X) := X^{-k} \, A(X) =: \sum_{n=0}^{d-k} a_{n+k} X^{n+k} \in K[[X]] </math>
<math>\operatorname{ord}_X(C) = 0 </math>. Damit ist <math>C(X) </math> [[#Multiplikatives Inverses|multiplikativ invertierbar]] in <math>K[[X]] </math> mit dem multiplikativen Inversen <math>D(X) := C(X)^{-1} \in K[[X]]</math>. Das multiplikative Inverse von <math>A(X) </math> ist dann
:<math>\begin{array}{rll}
B(X) =& \sum_{n=-k}^\infty b_n X^n \\
:=& X^{-k} \, D(X) & \qquad \bigl(\in K(\!(X)\!) \, \bigr) \\
=& X^{-k} \, C(X)^{-1} \\
=& X^{-k} \, \bigl(X^{-k} \, A(X) \bigr)^{-1} \\
=& A(X)^{-1}
\end{array}</math>
mit den Koeffizienten
:<math>\begin{array}{lll}
b_{-k} &= a_k^{-1} \\
b_n &= -a_k^{-1} \sum_{i=k+1}^{\min(d,2k+n)} a_i b_{k+n-i} & \quad (n \ge -k+1).
\end{array}</math>
;Beispiel
:Ist <math>A(X) = 1 - X - X^2 </math>, dann ist <math>b_0 = b_1 = 1</math> und <math>b_n = b_{n-1} + b_{n-2} </math> für <math>n \ge 2 </math>. Die <math>b_n </math> sind also die (um 1 Position verschobene) [[Fibonacci-Folge]] und <math>X/A(X) = X \, B(X) </math> ihre [[erzeugende Funktion]].<br />Somit ist ein Polynomquotient <math>B = 1/A </math> an seiner Koeffizientenfolge <math>\left(b_n\right) </math> nicht so leicht als ''rational'' zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer [[Rationale Zahl#Dezimalbruchentwicklung|periodischen ''g''-adischen Entwicklung]].

<math>K(\!(X)\!)</math> ist die Vervollständigung des Körpers <math>K(X)</math> bezüglich der im [[#Konvergenz|§ Konvergenz]] beschriebenen Metrik.

=== Konvergenz ===
Eine formale Potenzreihe
:<math>A(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n </math>
ist unter der Metrik
:<math>\operatorname{d}(A,B) := |A-B| = 2^{-\!\operatorname{ord}(A-B)}</math>.
[[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] der Folge von Polynomen <math>\bigl(A_k (X)\bigr)_{k\in\N} </math> mit
:<math>A_k(X) := \sum_{n=0}^k a_n X^n </math> .
Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein [[Cauchy-Kriterium#Kriterium|Cauchy-Kriterium für Folgen]], und <math>R[[X]] </math> ist die Vervollständigung des Polynomrings <math>R[X]</math> bezüglich dieser Metrik.

Diese Metrik erzeugt die [[Krulltopologie]] in den Ringen <math>R[[X]]</math> und <math>R(\!(X)\!)</math>.

Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen <math>\bigl(A_k (X)\bigr)_{k\in\N} \in R(\!(X)\!) </math> und <math>\bigl(B_l (X)\bigr)_{l\in\N} \in R(\!(X)\!) </math> haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem <math>\varepsilon > 0 </math> ein <math>N \in \Z </math> gibt, so dass für alle <math>k,l > N</math>
:<math>|A_k (X) - B_l (X)| < \varepsilon </math>
ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von <math>X</math> teilbar sind
– kurz: dass die beiden Grenzwerte [[#Koeffizientenvergleich|gleiche Koeffizienten]] haben.

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von <math>X</math> (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe [[Laurent-Reihe#Konvergenz von Laurent-Reihen]].

=== Verkettung (Komposition) ===
Eine formale Potenzreihe <math>\textstyle P(X) := \sum_{i=1}^\infty p_i X^i = p_1 X + p_2 X^2 + \cdots</math> ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe <math>\textstyle A(X) := \sum_{n\in\Z} a_j X^j </math> mit dem Ergebnis
:<math>\begin{array}{lll}
C(X) & := & (A\circ P)(X) := A(P(X)\!) \\
& = & \sum_{j\in\Z} a_j \bigl(P(X)\bigr)^j \\
& = & \sum_{j\in\Z} a_j \left( \sum_{i=1}^\infty p_i X^i \right)^j \\
& =: & \sum_{n\in\Z} c_n X^n
\end{array}</math>
einsetzen (mit ihr ''verketten'').<br />Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe <math>P(X) </math> ist wichtig, dass sie ''keinen konstanten Term'' (kein Absolutglied) hat, dass also <math>\operatorname{ord}_X(P) \ge 1</math> ist. Denn dann hängt <math>c_n </math> nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Ist <math>A(X)</math> eine Potenzreihe, also <math>\operatorname{ord}_X(A) \ge 0</math>, dann ist auch <math>C(X)</math> eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten <math>c_n</math> gilt die Formel
:<math>c_n = [X^n] \, \sum_{j=0}^\infty a_j \left( \sum_{i=1}^\infty p_i X^i \right)^j = \sum_{j\in\N_0,\, \vert \boldsymbol{i}\vert=n} a_j p_{i_1} p_{i_2} \cdots p_{i_n}</math>
mit <math>\boldsymbol{i} := (i_1, \ldots , i_n) </math> und <math>\vert \boldsymbol{i}\vert := i_1 + \cdots + i_n </math> (s. [[Multiindex#Konventionen der Multiindex-Schreibweise]]).

Andernfalls, wenn es <math>n < 0</math> mit <math>a_n \ne 0 </math> gibt, dann können Potenzen <math>P(X)^n </math> mit negativem Exponenten über das [[#Multiplikatives Inverses|multiplikative Inverse]] <math>P(X)^{-1} </math> gebildet werden.

Die <math>c_n </math> sind Polynome in den <math>p_i, \dotsc, a_j, \dotsc</math> mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im
{{Hauptartikel|Formel von Faà di Bruno}}

=== Formale Differentiation ===
Die ''[[formale Ableitung]]'' der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n\in\Z} a_n X^n </math> wird mit <math>\operatorname{D}_X A(X) = \operatorname{D}A(X) = \operatorname{D}A</math> oder (wie in der Analysis) mit <math>A^\prime</math> bezeichnet:
:<math>\operatorname{D}A(X) = \sum_{n\in\Z} n a_n X^{n-1} </math> .
Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe.
Sie ist eine {{nowrap|[[Derivation (Mathematik)|<math>R</math>-Derivation]],}} und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der [[Differentialrechnung]] einschließlich der [[Kettenregel]]:
:<math>\operatorname{D}(A\circ B)(X) = (\operatorname{D}A)\left(B(X)\right) \cdot \operatorname{D}B(X)</math> .
Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) [[Taylor-Reihe]]n oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für <math>k\leq m</math>
:<math>\left[ X^{m-k} \right] (\operatorname{D}^k A)(X) = \prod_{j=0}^{k-1}(m-j) \, \left[ X^m \right]A(X) = k! \, \binom{m}{k} \, a_m </math>
und
:<math>\left[ X^0 \right] (\operatorname{D}^m A)(X) = m! \, a_m </math> .
Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden.
Ferner gilt
:<math>\operatorname{ord}(A^\prime) \ge \operatorname{ord}(A) -1 </math> .
Für Reihen mit &nbsp; <math>\operatorname{ord}(A) \; l(A) \; \ne 0 </math> &nbsp; gilt das Gleichheitszeichen.

=== Formales Residuum ===
Sei <math>K</math> ein Körper der Charakteristik 0.
Dann ist die Abbildung
:<math>\operatorname{D}\colon K(\!(X)\!)\to K(\!(X)\!)</math>
eine <math>K</math>-Derivation, die
:<math>\ker \operatorname{D}=K</math>
:<math>\operatorname{im} \operatorname{D}= \left \{A\in K(\!(X)\!) : [X^{-1}]A=0 \right \}</math>
erfüllt.
Das zeigt, dass der Koeffizient von <math>X^{-1}</math> in <math>A</math> von besonderem Interesse ist; er wird ''formales Residuum'' von <math>A</math> genannt und mit <math>\operatorname{Res}(A)</math> notiert. Die Abbildung
:<math>\operatorname{Res}\colon K(\!(X)\!)\to K</math>
ist <math>K</math>-linear, und man hat die [[exakte Sequenz]]
:<math>0 \to K \to K(\!(X)\!) \; \xrightarrow[\operatorname{D}] \;\, K(\!(X)\!) \; \xrightarrow[\operatorname{Res}] \;\, K \to 0</math>.

;Ein paar Regeln aus der [[Differentialrechnung]]
Für alle <math>A = \textstyle \sum_{n\in\Z} a_n X^n, B\in K(\!(X)\!)</math> gilt:
:{|
|-
| i. || colspan="3" | <math>\operatorname{Res}(A^\prime)=0</math>.
|-
| ii. || colspan="3" | <math>\operatorname{Res}(A B^\prime)=-\operatorname{Res}(A^\prime B)</math>.
|-
| iii. || <math>A\neq 0</math> || <math>\implies \, \operatorname{Res}(A^\prime/A)=\operatorname{ord}(A)</math>.
|-
| iv. || <math>\operatorname{ord}(B)>0</math> || <math>\implies \, \operatorname{Res}\left(\!( A\circ B) B^\prime\right) = \operatorname{ord}(B)\operatorname{Res}(A)</math>.
|-
| v. || colspan="3" | <math>[X^n]A(X)=\operatorname{Res}\left(X^{-n-1}A(X)\right).</math>
|}

Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.<br />
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf <math>(A B)^\prime=A^\prime B+A B^\prime</math> angewendet.<br />
Eigenschaft (iii): Jedes <math>A\in K(\!(X)\!)</math> kann als <math>A=:X^m B</math> mit <math>m:=\operatorname{ord}(A)</math> und <math>C \in K[[X]]</math> geschrieben werden, woraus <math>A^\prime/A = mX^{-1}+C^\prime/C.</math> Wegen <math>\operatorname{ord}(C)=0</math> ist <math>C</math> invertierbar in <math>K[[X]]\subset \operatorname{im}(\operatorname{D}) = \ker(\operatorname{Res}),</math> woraus <math>\operatorname{Res}(A^\prime/A)=m</math> folgt.<br />
Eigenschaft (iv): Da <math>\operatorname{im}(\operatorname{D}) = \ker(\operatorname{Res}),</math> kann man <math>A=a_{-1} X^{-1}+F^\prime,</math> mit <math>F \in K[[X]]</math> schreiben. Folglich ist <math>(A\circ B)B^\prime= a_{-1} B^{-1}B^\prime+(F^\prime\circ B)B^\prime = a_{-1} B^\prime/B + (F \circ B)^\prime</math> und (iv) folgt aus (i) und (iii).<br />
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.

=== Inverses der Komposition (Umkehrfunktion) ===
Hat die formale Potenzreihe <math>\textstyle A(X) = \sum_{n=1}^\infty a_n X^n \in R[[X]]</math> den Koeffizienten <math> \left[ X^0 \right] A(X) = 0 </math> und ist <math>\left[ X^1 \right] A(X) = a_1 </math> invertierbar in <math>R</math>, dann lässt sich das ''Inverse der Komposition'', die (formale) [[Umkehrfunktion]], <math>\textstyle B(X) := A^{-1}(X) = \sum_{n=1}^\infty b_n X^n</math> von <math>A</math> bilden. Ihre Koeffizienten <math>b_n </math> sind ganzzahlige Polynome in <math>a_1^{-1}</math> und den <math>a_n (n\ge 2) </math>.
{{Hauptartikel|Lagrangesche Inversionsformel#Explizite Formel}}

Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:
:Ist <math>K </math> ein Körper der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 0, dann wird die Formel
::{|
|-
| style="width:30em" | <math>b_n = 1/n \left[ X^{n-1} \right] \left( \frac{X}{A(X)} \right)^n </math> || <math>(\mathbf{I}) </math>
|}
:als eine weitere Version der Lagrangeschen Inversionsformel gehandelt.<ref>[[#Sokal|A.&nbsp;Sokal]]</ref><ref>[[#Hofbauer|J.&nbsp;Hofbauer]]</ref>

:Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:<br />Ist <math>\textstyle C(X) = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n \in K[[X]]</math> beliebig, dann ist
::{|
|-
| style="width:30em" | <math>(C\circ A^{-1})(X) = c_0 + \sum_{n=1}^\infty \frac{X^n}{n} \left[ Y^{n-1} \right] C^\prime(Y) \left( \frac{Y}{A(Y)} \right)^n </math> || <math>(\mathbf{II}) </math>
|}
Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die [[Lagrangesche Inversionsformel#Formel von Lagrange-Bürmann|''Formel von Lagrange-Bürmann'']]) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und [[Bell-Polynom]]en.

;Beispiel
Die zu
:<math>A(X) := X - \frac{a X^2}{1!} + \frac{a^2 X^3}{2!} \mp \cdots = X \exp(-a X) = \frac{X}{\exp(a X)} </math>
inverse Reihe ist
:<math>B(X) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(n a \right)^{n-1}}{n!} X^n </math> ,
denn es ist <math>(\mathbf{I}) </math>
:<math>b_n = 1/n \left[ X^{n-1} \right] \frac{X}{A(X)} = 1/n \left[ X^{n-1} \right] \exp(a X) = \frac{\left(n a \right)^{n-1}}{n!} </math> ,
woraus die Behauptung.

== Universelle Eigenschaft ==
Der Ring <math>R[[X]]</math> kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:<br />Sei <math>B</math> eine kommutative [[assoziative Algebra]] über dem kommutativen und unitären Ring <math>R</math>. Ist nun <math>I</math> ein [[Idealtheorie|Ideal]] von <math>R</math> derart, dass die <math>I</math>-adische Topologie auf <math>B</math> [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist, und ist <math>x\in I,</math> dann gibt es ein ''eindeutiges'' <math>\Phi\colon R[[X]]\to B</math> mit den folgenden Eigenschaften:
* <math>\Phi(X)=x</math>
* <math>\Phi</math> ist ein [[Homomorphismus]] von <math>R</math>-Algebren
* <math>\Phi</math> ist [[stetig]].

== In mehreren Unbestimmten ==
Ist <math>R</math> ein kommutativer Ring mit 1, dann sind <math>R_1 := R[[X_1]]</math> und <math>{}_1\!R := R(\!(X_1)\!)</math> kommutative Ringe mit 1 und damit auch rekursiv
:<math>R_m := R_{m-1}[[X_m]] =: R[[X_1 , \dotsc , X_m]]</math>
und
:<math>{}_m\!R := {}_{m-1}\!R(\!(X_m)\!) =: R(\!(X_1 , \dotsc , X_m)\!)</math>.
Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der <math>X_1, \dotsc, X_m </math> an, m.&nbsp;a.&nbsp;W.: die Ringe aller Permutationen sind isomorph, und man kann jeden Zwischenring als Ausgangsring auffassen.

Allgemein versteht man jede Summe
:<math>A(X_1, \dotsc, X_m) = \sum_{n_1,\dotsc,n_m \in \Z} a_{n_1,\dotsc,n_m}X_1^{n_1}\dotsm X_m^{n_m}</math>
von [[Monom]]en der Form <math>a_{n_1,\dotsc,n_m}X_1^{n_1}\dotsm X_m^{n_m}</math> mit ganzzahligen Exponenten <math>n_1,\dotsc,n_m</math> als formale Reihe in mehreren Unbestimmten,
und zwar als Potenzreihe, wenn alle Koeffizienten mit einer negativen Indexkomponente <math>n_i </math> verschwinden,
oder als Laurent-Reihe, wenn es eine untere Schranke <math>u \in \Z </math> mit <math>a_{n_1,\dotsc,n_m} \ne 0 \implies \forall i : n_i \ge u </math> gibt.

Durch eine [[Monomordnung]] ist es möglich, die Monome entsprechend anzuordnen und dadurch Begriffe wie ''Leitkoeffizient'' zu verallgemeinern.

Die Größe <math>n_1+\dotsb+n_m</math> heißt der ''Totalgrad'' eines Monoms <math>X_1^{n_1}\dotsm X_m^{n_m}</math>.
Haben die (nichtverschwindenden) Monome einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe alle denselben Totalgrad, so ist sie eine homogene Reihe; bei einer formalen Potenzreihe handelt es sich dann um ein [[homogenes Polynom]].

Beim Operator zur [[#Koeffizientenextraktion|Koeffizientenextraktion]]
:<math>\left[ X_m^{n_m} \right] A(X_1, \dotsc, X_m) </math>
aus der Potenz- oder Laurent-Reihe <math>A </math> müssen konstruktionsbedingt alle Monome, in denen die Unbestimmte <math>X_m </math> den Grad <math>n_m </math> hat, als Potenz- oder Laurent-Reihe in den anderen Unbestimmten <math>X_1, \dotsc, X_{m-1} </math> zusammengefasst werden.

Bei der obigen sukzessiven Bildung von <math>R_2 := R_1[[X_2]] = \bigl(R[[X_1]]\bigr)[[X_2]] </math> geht die Topologie des Ausgangsrings, hier: <math>R_1 := R[[X_1]] </math>, verloren: die [[Teilraumtopologie|Topologie des Teilraums]] <math>R_1 </math> in <math>R_2 = R_1[[X_2]] </math> ist konstruktionsgemäß die [[Diskrete Topologie|diskrete]].
Man kann aber auch, wenn solches nicht erwünscht ist, das Ergebnis <math>R[[X_1,X_2]] </math> mit dem [[Produkttopologie|Produkt]] der Topologien von <math>R[[X_1]] </math> und <math>R[[X_2]] </math> ausstatten.
Für Ringe <math>R(\!(X_1,X_2)\!)</math> von formalen Laurent-Reihen gilt Entsprechendes.

== Siehe auch ==
* [[Lokaler Körper]]
* [[Erzeugende Funktion]]
* [[Monoidring]]

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Formal power series
| Autor = L. V. Kuz'min
| Url = http://eom.springer.de/F/f040870.htm
}}
* {{Anker|Hofbauer}}{{Internetquelle |autor=[[Josef Hofbauer (Mathematiker)|Josef Hofbauer]] |url=https://homepage.univie.ac.at/josef.hofbauer/82slc.pdf |titel=Lagrange–Inversion |zugriff=2018-05-06 |sprache=de}}
* {{Anker|Sokal}}{{Internetquelle |autor=[[Alan Sokal]] |url=https://arxiv.org/abs/0902.0069/ |titel=A Ridiculously Simple and Explicit Implicit Function Theorem |datum=2009-01-31 |zugriff=2018-05-06 |sprache=en}}
* {{MathWorld |id=LagrangeInversionTheorem |title=Lagrangesche Inversionsformel}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references/>

[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]