Quelltext der Seite Dualität von Lp-Räumen

{{DISPLAYTITLE:Dualität von ''L''<sup>''p''</sup>-Räumen}}
Unter '''Dualität von L<sup>p</sup>-Räumen''', kurz '''L<sup>p</sup>-Dualität''', versteht man eine Reihe von Sätzen aus dem mathematischen Gebiet der [[Funktionalanalysis]], die sich mit den [[Dualraum|Dualräumen]] von [[Lp-Raum|L<sup>p</sup>-Räumen]] beschäftigen, wobei <math>1\le p < \infty</math> eine reelle Zahl ist. Die wesentliche Aussage lautet, dass Dualräume von L<sup>p</sup>-Räumen wieder von dieser Art sind, nämlich L<sup>q</sup>-Räume, wobei <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1</math> sein muss. Das heißt, in einprägsamer Form gilt <math>(L^p)\,' \cong L^q</math>.

== Der Fall p > 1 ==
Es sei <math>q</math> der sogenannte zu <math>p</math> konjugierte Exponent, das heißt diejenige Zahl <math>1<q<\infty</math>, für die <math>\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1</math> gilt. Dies ist äquivalent mit <math>q=\tfrac{p}{p-1}</math>. Ist weiter <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein [[Maßraum]], dann kann man die [[Banachraum|Banachräume]] [[Lp-Raum|<math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math>]] und <math>L^q(X,\mathcal{A},\mu)</math> über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> bilden, wobei <math>\mathbb{K}</math> für <math>\R</math> oder <math>\Complex</math> steht. Wie üblich werden [[fast überall]] übereinstimmende Funktionen ohne weitere Hinweise identifiziert, um eine umständliche Sprech- und Schreibweise über Äquivalenzklassen von Funktionen zu vermeiden.
Nach der [[Höldersche Ungleichung|Hölderschen Ungleichung]] gilt

:<math> \left| \int_X f(x)g(x)\, \mathrm{d}\mu(x) \right| \le \|f\|_p \|g\|_q </math> für alle <math>f \in L^p(X,\mathcal{A},\mu),\, g\in L^q(X,\mathcal{A},\mu)</math>,

wobei <math>\|\cdot\|_p</math> die Norm auf dem L<sup>p</sup>-Raum bezeichnet und entsprechend <math>\|\cdot\|_q</math>. Diese Abschätzung zeigt, dass

:<math>T_g\colon L^p(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow \mathbb{K},\quad f\mapsto \int_X fg\, \mathrm{d}\mu </math>

ein [[Beschränktheit|beschränktes]] [[lineares Funktional]] auf <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math>, also ein Element des Dualraums <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,'</math> ist, mit <math>\|T_g\| \le \|g\|_q</math>. Mit Hilfe des [[Satz von Radon-Nikodým|Satzes von Radon-Nikodým]] kann man zeigen, dass jedes beschränkte lineare Funktional auf <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math> von dieser Form ist und dass für die Normen sogar Gleichheit gilt. Man hat daher folgenden Satz<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17</ref><ref>Dunford, Schwartz: ''Linear Operators, Part I, General Theory.'' ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 1</ref>:

: Es seien <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein Maßraum und <math>1<p<\infty</math>. Dann ist die Abbildung
:: <math>T: L^q(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg\, \mathrm{d}\mu </math>
: ein [[Isometrie|isometrischer]] [[Isomorphismus]].

Genau dieser Isomorphismus ist gemeint, wenn man kurz <math> L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu)</math> schreibt.

Da <math>p</math> und <math>q</math> ja in einer symmetrischen Beziehung zueinander stehen, ergibt sich aus diesem Satz sofort
:<math> L^p(X,\mathcal{A},\mu)\,'' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu)\,' \cong L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math>.
Verwendet man die im Satz angegebenen Isomorphismen, so erkennt man, dass es sich hier um die kanonische Einbettung von <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu)</math> in seinen [[Bidualraum]] handelt. Die L<sup>p</sup>-Räume sind für <math>1<p<\infty</math> also [[Reflexiver Raum|reflexiv]].

Obiger Satz, der manchmal nicht ganz korrekt als ''Satz von Riesz'' zitiert wird, hat mehrere Väter. Der bereits 1907 bewiesene [[Hilbertraum]]-Fall <math>L^2([0,1])</math> geht auf [[Maurice Fréchet|M. Fréchet]] zurück.<ref>M. Fréchet: ''Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéares'', C. R. Acad Sci Paris 144 (1907), Seiten 1414–1416</ref> Das Einheitsintervall steht hier für den Maßraum [0,1] mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] und dem auf [0,1] eingeschränkten [[Lebesgue-Maß]]. Die Verallgemeinerung dieses Ergebnisses auf beliebige Hilberträume ist auch als [[Darstellungssatz von Fréchet-Riesz]] (oder Rieszscher Darstellungssatz) bekannt.
[[Frigyes Riesz|F. Riesz]] hat drei Jahre später den Fall <math>L^p[0,1]</math> für <math>1<p<\infty</math> bewiesen.<ref>F. Riesz: ''Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen'', Math. Ann. 69 (1910), Seiten 449–497</ref> Das wurde dann von [[Otton Marcin Nikodým|O. M. Nikodým]] auf den Fall endlicher Maßräume verallgemeinert.<ref>O. M. Nikodým: ''Contribution à la théorie des fonctionelles linéaires en connexion avec la théorie de la mesure des ensembles abstraits'', Mathematica Cluj 5 (1931), Seiten 130–141</ref> Der allgemeinste Fall eines beliebigen Maßraums wurde schließlich 1950 von [[Edward James McShane|E. J. McShane]] behandelt.<ref>E. J. McShane: ''Linear functionals on certain Banach spaces, Proc Amer. Math. Soc. 1 (1950), Seiten 401-408''</ref>

Ein sehr einfacher Spezialfall sind die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p</math>, die man erhält, wenn man <math>X=\N</math> und für <math>\mu</math> das [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]] nimmt. Die Elemente aus <math>\ell^p</math> werden als Folgen <math>(a_n)_n</math> geschrieben, wobei eine solche Folge für die <math>L^p</math>-Funktion <math>\N\rightarrow \mathbb{K},\,n\mapsto a_n</math> steht. Für die Dualität zwischen <math>\ell^p</math> und <math>\ell^q</math> erhält man an Stelle obiger Integrale eine Summe:
:<math>T_b((a_n)_n) = \sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> für alle <math>(a_n)_n \in \ell^p</math> und <math>b=(b_n)_n \in \ell^q</math>.
Diese Aussage kann auch ohne maßtheoretischen Aufwand bewiesen werden.

== Der Fall p = 1 ==
Ein entsprechender Satz über den Dualraum von L<sup>1</sup>-Räumen gilt nicht in voller Allgemeinheit. Bildet man den zu 1 konjugierten Exponenten, so muss man <math>q=\infty</math> nehmen. [[Hugo Steinhaus|H. Steinhaus]] konnte 1919 in der Tat
:<math>L^1([0,1])\,'\cong L^\infty([0,1])</math>
zeigen, wobei die isometrische Isomorphie durch den zum oben definierten Operator <math>T</math> analogen Operator vermittelt wird.<ref>H. Steinhaus: ''Additive und stetige Funktionaloperationen'', Math. Zeitschrift 5 (1919), Seiten 186–221</ref>
Die zusätzliche Schwierigkeit besteht letztlich darin, dass die auftretenden Räume, von trivialen Ausnahmen abgesehen, nicht mehr reflexiv sind. Es lässt sich aber noch folgender Satz zeigen:<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 4.5.17</ref><ref>Dunford, Schwartz: ''Linear Operators, Part I, General Theory.'' ISBN 0-471-60848-3, Kapitel IV.8, Theorem 5</ref>

: Es sei <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein [[Sigma-endliches Maß|<math>\sigma</math>-endlicher]] Maßraum. Dann ist die Abbildung
:: <math>T: L^\infty(X,\mathcal{A},\mu) \rightarrow L^1(X,\mathcal{A},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_X fg \mathrm{d}\mu </math>
: ein isometrischer Isomorphismus.

Auf die zusätzliche Voraussetzung der <math>\sigma</math>-Endlichkeit des Maßraums kann nicht verzichtet werden. Betrachtet man zum Beispiel auf <math>X=\R</math> die <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{A}</math> derjenigen Mengen, die [[Abzählbarkeit|abzählbar]] sind oder deren Komplement abzählbar ist, und als Maß <math>\mu</math> das Zählmaß, so ist <math>L^1(\R,\mathcal{A},\mu)</math> der Raum aller Funktionen <math>f\colon\R\rightarrow \mathbb{K}</math>, die höchstens an abzählbar vielen Stellen von null verschieden sind und für die <math>\textstyle\sum_{x\in \R}|f(x)| < \infty</math> gilt. Offenbar ist durch <math>\textstyle f\mapsto \sum_{x \ge 0}f(x) </math> ein beschränktes lineares Funktional auf <math>L^1(\R,\mathcal{A},\mu)</math> definiert. Wäre dieses von der Form <math>T_g</math> für ein <math>g\in L^\infty(\R,\mathcal{A},\mu)</math>, so müsste <math>g</math> konstant gleich 1 auf <math>[0,\infty)</math> und konstant gleich 0 auf <math>(-\infty,0)</math> sein. Eine solche Funktion ist aber nicht <math>\mathcal{A}</math>-[[Messbare Funktion|messbar]]. Daher kann in diesem Beispiel die im Satz beschriebene Isomorphie nicht bestehen.

Es gibt aber eine wichtige Situation, die auch gewisse nicht-<math>\sigma</math>-endliche Maßräume umfasst, in der man dennoch zu einem befriedigenden Resultat kommt, nämlich die der [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakten]] [[Topologische Gruppe|Gruppen]]. In der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]] ist folgender Satz wichtig<ref>Donald L. Cohn: ''Measure Theory.'' Birkhäuser, Boston 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Theorem 9.4.8</ref>:

: Es seien <math>G</math> eine lokalkompakte Gruppe, <math>\mathcal{B}</math> die Borelsche <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>G</math> und <math>\mu</math> ein [[reguläres Borelmaß]] auf <math>G</math>. Dann ist
:: <math>T\colon L^\infty(G,\mathcal{B},\mu) \rightarrow L^1(G,\mathcal{B},\mu)\,',\quad g\mapsto T_g,\quad T_g(f) := \int_G fg\, \mathrm{d}\mu </math>
: ein [[Isometrie|isometrischer]] [[Isomorphismus]].

Dabei heißt das Maß <math>\mu</math> regulär, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
* <math>\mu(K) < \infty</math> für alle [[Kompakter Raum|kompakten]] Teilmengen <math>K\subset G</math>,
* <math>\mu(U) = \sup\{\mu(K);\, K\subset U, K \mbox{ kompakt} \}</math> für alle offenen Teilmengen <math>U\subset G</math>,
* <math>\mu(B) = \inf \{\mu(U);\, B\subset U \subset G, U \mbox{ offen}\} </math> für alle Borelmengen <math>B\in \mathcal{B}</math>.

Der Satz gilt also insbesondere auch für das [[Haarsches Maß|Haarsche Maß]] auf <math>G</math>, das heißt, man kann den Dualraum der [[Gruppen-C*-Algebra|Gruppenalgebra]] <math>L^1(G)</math> auch für nicht-<math>\sigma</math>-endliche Gruppen durch obigen Satz beschreiben.

== Der Fall 0 < p < 1 ==
Für <math> 0 < p < 1 </math> ist [[Lp-Raum#Lp für p < 1|''L<sup>p</sup>(X,A,μ)'']] zwar kein [[normierter Raum]], aber immerhin ein [[Vollständiger Raum|vollständiger]] [[topologischer Vektorraum]]<ref name="Elstrodt">{{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=6. |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-540-89727-9 |Kapitel=Kapitel 6 |Seiten=223–225, 229–234, 263, 268}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]] |Titel=Analysis. ''Band 3'' |Auflage=2. |Verlag=Birkhäuser Verlag |Ort=Basel u. a. |Datum=2008 |ISBN=978-3-7643-8883-6 |Kapitel=Kapitel X: Integrationstheorie, Aufgabe 13 |Seiten=131}}</ref> mit der [[Quasinorm]]
:<math>N_p\,:\,L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)\,\rightarrow\,\R\;, \qquad N_p\left(f\right) := \left( \int_X \left| f \right|^p \mathrm{d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}</math>
bzw. der [[Pseudonorm]] oder [[Fréchet-Metrik]]
:<math>\varrho_p\,:\,L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)\,\rightarrow\,\R\;, \qquad \varrho_p\left(f\right) := \left(N_p\left(f\right)\right)^p = \int_X \left| f \right|^p \mathrm{d}\mu\;.</math>
Diese Räume sind im Allgemeinen nicht [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvex]], der [[Satz von Hahn-Banach]] also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die [[schwache Topologie]] auf <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)</math> Punkte [[Trennungseigenschaft|trennen]] kann.

Prototypisch ist das Beispiel <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right) := L^p\left(\left[0,\,1\right],\mathcal{B}\left(\left[0,\,1\right]\right),\lambda\right)</math> mit der [[Borel-Algebra]] <math>\mathcal{B}\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> über dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>\left[0,\,1\right]</math> und dem [[Borel-Lebesgue-Maß]] <math>\lambda</math>. Hier sind die einzigen [[Konvexe Menge|konvexen]] [[Offene Menge|offenen]] Mengen die [[Leere Menge|leere Menge <math>\emptyset</math>]] und der gesamte Raum <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> selbst.<ref name="Elstrodt" /><ref>{{Literatur |Autor=[[Walter Rudin]] |Titel=Functional Analysis |Auflage=2. |Verlag=McGraw-Hill |Ort=New York |Datum=1991 |ISBN=0-07-054236-8 |Seiten=36–37}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Hans Wilhelm Alt]] |Titel=Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-22260-3 |Kapitel=Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11 |Seiten=140}}</ref> Da [[Urbild (Mathematik)|Urbilder]] konvexer offener Mengen in <math>\mathbb{K}</math> unter einem linearen stetigen Funktional konvexe offene Mengen in <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> sind, folgt, dass das Nullfunktional das einzige lineare stetige Funktional ist. Der Dualraum ist somit trivial:
:<math>\left(L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)\right)' = \left\{0\right\}</math>.
Insbesondere ist in diesem Raum die Aussage des [[Trennungssatz]]es nicht gültig, da sich keine zwei Punkte durch eine [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Hyperebene]] trennen lassen. Die schwache Topologie auf <math>L^p\left(\left[0,\,1\right]\right)</math> ist [[Indiskrete Topologie|indiskret]].

Es gibt aber auch weniger extreme Beispiele, wie die [[Folgenraum|Folgenräume]] <math>\ell^p := L^p\left(\N,\mathcal{P}\left(\N\right),\mu\right)</math> mit dem [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]] <math>\mu</math>. Diese Räume besitzen zwar nichttriviale [[Absolutkonvexe Menge|absolutkonvexe]] offene Mengen, aber nicht genug um eine [[Nullumgebungsbasis]] zu bilden: Da jede konvexe offene Menge in <math>\ell^p</math> unbeschränkt ist, sind auch die <math>\ell^p</math> nicht lokalkonvex.<ref>{{Literatur |Autor=S.&nbsp;M.&nbsp;Khaleelulla |Titel=Counterexamples in Topological Vector Spaces |Auflage=1. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1982 |ISBN=978-3-540-39268-2 |Kapitel=Chapter 1 Example 3(ii) |Seiten=13}}</ref> Trotzdem gibt es „viele“ lineare stetige Funktionale. Es gilt nämlich für <math> 0 < p < 1 </math>:
:<math>\left(\ell^p\right)' = \left(\ell^1\right)' = \ell^{\infty}\;.</math>
Die Inklusion „<math>\supset</math>“ sieht man leicht, denn für <math>x=\left(x_k\right) \in \ell^p</math> und <math>y=\left(y_k\right) \in \ell^{\infty}</math> gilt:
:<math>
\left| \sum\limits_{k\in\N} x_k\,y_k \right|
\le \left(\sum\limits_{k\in\N} \left|x_k\right|\right)\,\left(\sup\limits_{k\in\N} \left|y_k\right|\right)
\le N_p\left(x\right)\,\left\|y\right\|_{\infty}\;.
</math>

Für <math>X = \left\{1,\,\ldots\,n\right\}</math>, <math>\mathcal{A}=\mathcal{P}\left(X\right)</math> und <math>\mu</math> das Zählmaß, also <math>L^p\left(X,\mathcal{A},\mu\right)\cong \mathbb{K}^n</math> mit der [[p-Norm|<math>p</math>-Quasinorm]], ist die [[Topologischer Raum|Topologie]] auf diesem Raum sogar mit der üblichen Topologie des <math>\mathbb{K}^n</math> identisch, da es auf jedem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum genau eine Hausdorff-Topologie gibt, die den Raum zu einem topologischen Vektorraum macht.<ref>{{Literatur |Autor=[[Klaus Floret]], [[Joseph Wloka]] |Titel=Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume |Auflage=1. |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin, Heidelberg, New York |Datum=1968 |ISBN=978-3-540-35855-8 |Kapitel=§3.4 |Seiten=17}}</ref> Obwohl die Kugeln in der erzeugenden [[Quasinorm]] nicht konvex sind, erzeugt diese eine lokalkonvexe Topologie:
:<math> n^{1-\frac{1}{p}}\,N_p\left(x\right) \le \left\|x\right\|_1 \le N_p\left(x\right)\;.</math>
Der [[Satz von Hahn-Banach]] ist anwendbar und der Dualraum wieder <math>\mathbb{K}^n</math>, wie im [[Euklidischer Raum|euklidischen]] bzw. [[Unitärer Raum|unitären]] Fall. Die schwache Topologie ist aus den gleichen Gründen wie oben mit der <math>p</math>-Quasinormtopologie sowie der üblichen Topologie identisch.

== Banachraum-wertige L<sup>p</sup>-Funktionen ==

Ist neben dem Maßraum <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> noch ein Banachraum <math>E</math> gegeben, so kann man den Raum <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)</math> aller <math>\mathcal{A}</math>-messbaren Funktionen <math>f\colon X\rightarrow E</math>, für die das Integral <math>\textstyle\int_X \|f(x)\|^p\,\mathrm{d}\mu(x)</math> endlich ist, bilden, wobei wie üblich fast überall übereinstimmende Funktionen identifiziert werden (siehe auch [[Bochner-Integral]]). Die Norm

:<math>\|f\|_p := \left(\int_X \|f(x)\|^p\,\mathrm{d}\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}} </math>

macht <math>L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)</math> zu einem Banachraum. Sind nun <math>f\in L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)</math> und <math>g\in L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,')</math>, so kann man

:<math>\int_X gf\, \mathrm{d}\mu = \int_X \underbrace{g(x)}_{\in E\,'} (\underbrace{f(x)}_{\in E})\, \mathrm{d}\mu(x)</math>

bilden, und es gilt:

:<math>\left|\int_X gf\, \mathrm{d}\mu\right| \le \int_X |g(x)(f(x))|\, \mathrm{d}\mu(x) \le \int_X \|g(x)\|_q\|f(x)\|_p\, \mathrm{d}\mu(x) \le \|g\|_q\|f\|_p</math>.

Man erhält daher wieder eine Abbildung
:<math>T\colon L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,') \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,'</math>
und man kann folgenden Satz zeigen<ref>R. E. Edwards: ''Functional Analysis: Theory And Applications'', Dover Publications, ISBN 0-486-68143-2, 8.20</ref>:

: Sind <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein Maßraum, <math>E</math> ein [[Separabler Raum|separabler]], reflexiver Banachraum und <math>1<p<\infty</math> sowie <math>q</math> der zu <math>p</math> konjugierte Exponent, so ist
:: <math>T\colon L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,') \rightarrow L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,',\, g\mapsto T_g,\, T_g(f) = \int_X gf\, \mathrm{d}\mu </math>
: ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt also die erwartete und leicht einprägsame Formel
:<math>L^p(X,\mathcal{A},\mu,E)\,' \cong L^q(X,\mathcal{A},\mu,E\,')</math>.

== Gewichtete l<sup>p</sup>-Räume ==

Es sei eine Folge <math>w=(w_n)_{n\in\N}</math> positiver Zahlen, sogenannter Gewichte, gegeben. Der zugehörige ''gewichtete <math>\ell^p</math>-Raum'' ist der Folgenraum
:<math>\ell^p(w) := \left\{(a_n)_n \left|\,\textstyle \sum\limits_{n\in\N}|a_n|^p w_n^p < \infty \right.\right\}</math>
mit der Norm
:<math>\|(a_n)_n\|_{p,w} := \left(\sum_{n\in\N}|a_n|^p w_n^p\right)^{\frac{1}{p}}</math>.
Dies ist nichts anderes als der Raum <math>L^p(\N,\mathcal{P}(\N),\mu_w)</math>, wobei das Maß <math>\mu_w</math> durch <math>\mu_w(\{n\}) = w_n</math> definiert ist. Wendet man darauf obigen Satz über die L<sup>p</sup>-Dualität an, erhält man einen isometrischen Isomorphismus

:<math>T\colon \ell^q(w) \rightarrow \ell^p(w)\,',\, b= (b_n)_n \mapsto T_b, \quad T_b((a_n)_n) := \sum_{n\in\N}a_n b_n w_n^p </math>.

In der Theorie der Folgenräume betrachtet man aber lieber eine durch den Ausdruck
<math>\textstyle\sum_{n\in\N}a_n b_n</math> gegebene Dualität, das heißt, man möchte die Faktoren <math>w_n^p</math> vermeiden. Dazu muss man von der Folge <math>(b_n)_n\in \ell^q(w)</math> zur Folge <math>(b_n w_n^p)_n</math> übergehen. Da <math>p-pq=-q</math>, gilt

: <math>\|(b_n)_n\|^q_{q,w} = \sum_{n\in \N}|b_n|^q w_n^p = \sum_{n\in \N}|b_n w_n^p|^q w_n^{p-pq} = \sum_{n\in \N}|b_n w_n^p|^q w_n^{-q} = \|(b_n w_n^p)_n\|^q_{q,\frac{1}{w}} </math>,

wobei <math>\tfrac{1}{w}</math> für die aus den Kehrwerten der <math>w_n</math> gebildete Folge von Gewichten steht. Man erhält also einen isometrischen Isomorphismus
:<math>\ell^q(w)\rightarrow \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right), (b_n)_n \mapsto (b_n w_n^p)_n</math>.
Kombiniert man diesen mit obigem isometrischen Isomorphismus <math>T</math>, so gelangt man zu<ref>K. Floret, J. Wloka: ''Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume'', Lecture Notes in Mathematics 56, 1968, ISBN 3-540-04226-1, §5.4</ref>:

: Es seien <math>(w_n)_n</math> eine Folge von Gewichten, <math>1\le p<\infty</math> und <math>q</math> der zu <math>p</math> konjugierte Exponent. Dann ist
:: <math>S\colon \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right)\rightarrow \ell^p(w)\,',\ b=(b_n)_n\mapsto S_b,\ S_b((a_n)_n) = \sum_{n\in\N}a_n b_n </math>
: ein isometrischer Isomorphismus.

Dieser isometrische Isomorphismus ist gemeint, wenn man
:<math>\ell^p(w)\,' \cong \ell^q\left(\tfrac{1}{w}\right) </math>
schreibt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dieser nicht der isometrische Isomorphismus aus dem allgemeinen Satz über L<sup>p</sup>-Dualität ist, außer wenn alle Gewichte gleich 1 sind.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]