∂
∂
| |
|---|---|
| Mathematische Zeichen | |
| Arithmetik | |
| Pluszeichen | + |
| Minuszeichen | −, ⁒ |
| Malzeichen | ⋅, × |
| Geteiltzeichen | :, ÷, / |
| Plusminuszeichen | ±, ∓ |
| Vergleichszeichen | <, ≤, =, ≥, > |
| Wurzelzeichen | √ |
| Prozentzeichen | % |
| Analysis | |
| Summenzeichen | Σ |
| Produktzeichen | Π |
| Differenzzeichen, Nabla | ∆, ∇ |
| Prime | ′ |
| Partielles Differential | ∂ |
| Integralzeichen | ∫ |
| Verkettungszeichen | ∘ |
| Unendlichzeichen | ∞ |
| Geometrie | |
| Winkelzeichen | ∠, ∡, ∢, ∟ |
| Senkrecht, Parallel | ⊥, ∥ |
| Dreieck, Viereck | △, □ |
| Durchmesserzeichen | ⌀ |
| Mengenlehre | |
| Vereinigung, Schnitt | ∪, ∩ |
| Differenz, Komplement | ∖, ∁ |
| Elementzeichen | ∈ |
| Teilmenge, Obermenge | ⊂, ⊆, ⊇, ⊃ |
| Leere Menge | ∅ |
| Logik | |
| Folgepfeil | ⇒, ⇔, ⇐ |
| Allquantor | ∀ |
| Existenzquantor | ∃ |
| Konjunktion, Disjunktion | ∧, ∨ |
| Negationszeichen | ¬ |
Das ∂ (sprich: Del) ist ein mathematisches Symbol, das hauptsächlich für die partielle Ableitung <math>\tfrac{\partial }{\partial x}</math> und das partielle Differential <math>\partial f</math> benutzt wird. Es hat die Unicodenummer U+2202.<ref>Unicode-Zeichen „∂“ (U+2202), Daten zum Symbol</ref>
Namen
Der geläufigste Name des ∂ ist Del,<ref>Introduction to partial derivatives, Khan Academy</ref><ref>Stefan Kooths, Nicole Wägner: Formel-Übersicht, Abschnitt Operatoren und Funktionen. Business and Information Technology School, 2014.</ref> was allerdings im Englischen auch den Nabla-Operator bezeichnet. Daher gibt es weitere Namen für das Symbol, u. a. partielles d,<ref>Malcolm Pemberton, Nicholas Rau: Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. University of Toronto Press, 3. Ausgabe 2011, ISBN 1-4426-1276-2. Zitat S, 270/271: „pronounced 'partial-dee-eff-by-dee-ex'“.</ref> im Englischen Dabba<ref>M. Y. Gokhale, N. S. Mujumdar, S. S. Kulkarni, A. N. Singh, K. R. Atal: Engineering Mathematics-i. Nirali Prakashan, 1981, Abschnitt 10.5, ISBN 81-906935-4-9. Zitat S. 10.2: „we read it as dabba z by dabba x (or del z by del x)“.</ref> oder Jacobidelta,<ref name="Aldrich" /> sowie einfach d.<ref>Richard A. Silverman: Essential Calculus with Applications. Courier Corporation, 1977; zweite Ausgabe 1989, S. 216. Dover Publications Inc, New York. ISBN 0-486-66097-4.</ref> Im letzteren Fall ist es dann allerdings sprachlich nicht mehr von der totalen Ableitung zu unterscheiden.
Verwendungsgeschichte
So wie das Integralzeichen eine spezielle Form des langen s darstellt, ist das ∂ eine spezielle kursive Schreibweise des ds. Zuerst verwendet wurde es 1770 vom französischen Mathematiker Nicolas de Concorcet als Symbol für das partielle Differential.<ref name="Aldrich">John Aldrich: Earliest Uses of Symbols of Calculus, Abschnitt partial derivative. Website Jeff Millers, Quelle für gesamte Verwendungsgeschichte.</ref>
« Dans toute la suite de ce Memoire, dz & ∂z désigneront ou deux differences partielles de z, dont une par rapport a x, l'autre par rapport a y, ou bien dz sera une différentielle totale, & ∂z une difference partielle. »
„Im weiteren Verlauf dieser Abhandlung bezeichnen dz & ∂z entweder zwei partielle Differentiale von z, davon einer in Bezug auf x, der andere in Bezug auf y, oder dz ist ein Gesamtdifferential & ∂z ein partielles Differential.“
Adrien-Marie Legendre verwendete es 1786 erstmals für die partielle Ableitung.<ref name="Aldrich" />
« Pour éviter toute ambiguité, je représenterai par ∂u/∂x le coefficient de x dans la différence de u, & par du/dx la différence complète de u divisée par dx. »
„Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, werde ich durch ∂u/∂x den Koeffizienten von x im Differential von u & durch du/dx das totale Differential von u geteilt durch dx darstellen.“
Legendre stellte die Verwendung später ein. Carl Gustav Jacob Jacobi nahm sie 1841 wieder auf und verbreitete das ∂ weitreichend.<ref name="Aldrich" />
“Sed quia uncorum accumulatio et legenti et scribenti molestior fieri solet, praetuli characteristica d differentialia vulgaria, differentialia autem partialia characteristica ∂ denotare.”
„Da jedoch die Anhäufung von Haken für das Lesen und Schreiben noch mühsamer ist, bevorzuge ich die üblichen d charakteristisch für gewöhnliche Differentiale, für partielle Differentiale ist charakteristisch ∂ angegeben.“
Anwendungen
<math>\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}f(x, y)</math> ist die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>x</math>. Man braucht sie, wenn eine multivariable Funktion nach einer Variablen differenziert werden soll, um anzugeben, nach welcher.
<math>\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}} = \frac{\partial(f_1, f_2, \cdots, f_m)}{\partial(x_1, x_2, \cdots, x_n)} = \begin{pmatrix}
\cfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}</math>
nennt man die m×n-Jacobimatrix von <math>f</math> nach <math>x</math> (Matrix der partiellen Ableitungen der von n Variablen abhängigen m-dimensionalen Funktion <math>f</math>).
Neben partieller Ableitung, partiellem Differential und Jacobimatrix wird das ∂ auch in der Topologie als Rand einer Menge, in der homologischen Algebra als Grenzoperator in einem Kettenkomplex oder einer DG-Algebra und in der Dolbeault-Kohomologie als das komplex Konjugierte des Dolbeault-Operators über einer komplexen Differentialform verwendet. In der Linguistik benutzt man das ∂ für Präsuppositionen eines Satzes.<ref>Ljudmila Geist, Björn Rothstein: Kopulaverben und Kopulasätze: Intersprachliche und intrasprachliche Aspekte. Linguistische Arbeiten, Band 512. Hrsg. Walter de Gruyter, 2012, Erstausgabe 2007. Max Niemeyer Verlag, Tübingen. ISBN 3-11-093883-9, S. 154, Zitat: »„∂“ dient als Marker für Präsuppositionen«.</ref>
Kodierung
| Zeichen | Unicode | Bezeichnung | HTML | LaTeX<ref>Will Robertson: <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />Symbols defined by unicode-math ( vom 10. August 2020 im Internet Archive), 31. Januar 2020.</ref> | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Position | Bezeichnung | hexadezimal | dezimal | benannt | |||
| ∂ | U+2202
|
partial differential | Partielles Differential | ∂ | ∂ | ∂ | \partial
|
| 𝛛 | U+1D6DB
|
mathematical bold partial differential | Mathematische fette partielle Ableitung | 𝛛 | 𝛛 | \mbfpartial
| |
| 𝜕 | U+1D715
|
mathematical italic partial differential | Mathematische kursive partielle Ableitung | 𝜕 | 𝜕 | \mitpartial
| |
| 𝝏 | U+1D74F
|
mathematical bold italic partial differential | Mathematische fettkursive partielle Ableitung | 𝝏 | 𝝏 | \mbfitpartial
| |
| 𝞉 | U+1D789
|
mathematical sans-serif bold partial differential | Mathematische serifenlose fette partielle Ableitung | 𝞉 | 𝞉 | \mbfsanspartial
| |
| 𝟃 | U+1D7C3
|
mathematical sans-serif bold italic partial differential | Mathematische serifenlose fettkursive partielle Ableitung | 𝟃 | 𝟃 | \mbfitsanspartial
| |
Weblink
Einzelnachweise
<references />