Zwillingsparadoxon

Das Zwillings- oder Uhrenparadoxon ist die paradox erscheinende Tatsache, dass Zwillinge nicht mehr gleich alt sind, wenn einer von einer Rundreise nach Hause zurückkehrt, während der andere zu Hause geblieben ist. Wenn der daheimgebliebene Zwilling die ganze Zeit in einem Inertialsystem in Ruhe war, ist er beim Wiedersehen auf jeden Fall älter als der zurückgekehrte. Dieser Effekt wurde als Gedankenexperiment erstmals 1905 von Albert Einstein aus seiner damals neuen Relativitätstheorie abgeleitet und bekam später den Namen „Zwillingsparadoxon“. Der Effekt beruht auf der relativistischen Zeitdilatation und ist rein physikalischer Natur. Entsprechend geht auch eine Uhr auf einer Rundreise nach, wenn man sie bei der Rückkehr mit einer am Ort verbliebenen Uhr vergleicht. Der Zeitunterschied ist unmerklich klein, wenn die Reise mit alltagsüblichen Geschwindigkeiten gemacht wird. Er konnte jedoch erstmals 1971 im Hafele-Keating-Experiment mithilfe von Atomuhren bei einer Weltreise per Linienflugzeug nachgewiesen werden.<ref name="Stöckler2024">Manfred Stöckler: Paradoxien der Zeit: Das Zwillingsparadoxon, in Alexander Max Bauer, Gregor Damschen, Mark Siebel, (Hg.), Paradoxien: Grenzdenken und Denkgrenzen von A(llwissen) bis Z(eit), Brill Mentis, 2024, ISBN 978-3-96975-251-7, Kapitel 6, S. 125–146</ref>

Überblick

Das Zwillingsparadoxon macht anschaulich greifbar, dass die Zeit keine physikalische Größe ist, die einheitlich für das ganze Universum gilt, und dass es von den näheren Umständen abhängt, wie schnell sie jeweils fortschreitet. Diese Tatsache widerlegt das Konzept einer absoluten Zeit, obwohl dieses im Einklang mit der Alltagserfahrung steht und einen festen Bestandteil des menschlichen Weltbilds bildet. Es gehörte auch seit Isaac Newton zu den Grundlagen der klassischen Physik. Die Erkenntnis, dass dieses Konzept dennoch falsch ist und korrigiert werden muss, wurde 1905 von Albert Einstein gleich zu Beginn der Entwicklung der Relativitätstheorie theoretisch herausgearbeitet, weil sich anderenfalls das Relativitätsprinzip und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit nicht miteinander vereinbaren lassen. Diese Erkenntnis stieß teilweise lange auf Widerstand. Jedoch wurden die relativistisch begründeten Korrekturen am Zeitbegriff in zahllosen physikalischen Experimenten bestätigt und werden heute sogar technisch eingesetzt, z. B. zur Verbesserung der genauen Satellitenortung (GPS).<ref name="DemtröderI">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="davies1996" /><ref name="French1971">French, A.P.: Die spezielle Relativitatstheorie, Vieweg + Sohn . Braunschweig, 1971, ISBN 978-3-528-03546-4</ref>

Des Weiteren erscheint paradox, dass ausgerechnet die Anwendung des Relativitätsprinzips einen Unterschied im Alter der Zwillinge bzw. der Anzeige der Uhren begründen soll. Denn einfach ausgedrückt sind dem Relativitätsprinzip zufolge alle physikalischen Bezugssysteme darin gleichwertig, die Folgen eines Experiments vorherzusagen. Im Bezugssystem, in dem der erste Zwilling ruht, entfernt sich der zweite zu einer Rundreise und ist bei der Rückkehr jünger als der erste; vom Bezugssystem des zweiten Zwillings aus gesehen ist es aber der erste, der sich wie auf einer Rundreise erst entfernt und dann zurückkehrt, so dass dieser nun der jüngere sein sollte. Diese entgegengesetzten Erwartungen an das erreichte Alter sind logisch unvereinbar, denn beim Wiedersehen kann – wenn überhaupt – nur einer der jüngere sein. Das wäre in der Tat ein Paradoxon, ist aber ein Fehlschluss, weil hierbei das Relativitätsprinzip falsch vereinfacht wurde. Zwar sind die Ortsveränderungen, die die beiden Zwillinge am jeweils anderen beobachten, spiegelbildlich symmetrisch zueinander. Der gesamte physikalische Vorgang ist aber nicht spiegelbildlich symmetrisch: Beim reisenden Zwilling umfasst er auch den mit Beschleunigungen und Trägheitskräften verbundenen Prozess der Richtungsumkehr, beim daheim gebliebenen nicht. Obwohl die Beschleunigung als solche den Gang der Zeit oder der Uhren gar nicht beeinflusst, macht allein dieser von beiden Zwillingen übereinstimmend beobachtbare Unterschied die naive Anwendung des Relativitätsprinzips falsch. Bei sorgfältiger Anwendung der Regeln, mit deren Hilfe man die Beobachtungen, die der eine Zwilling in seinem Bezugssystem macht, in die Beobachtungen des anderen von seinem Bezugssystem aus umzurechnen hat, ergibt sich für beide Zwillinge übereinstimmend, dass der daheimgebliebene beim Wiedersehen der ältere ist.

Diese Regeln sind in der Lorentztransformation zusammengefasst, die ihrerseits eine direkte Folge des Relativitätsprinzips in Verbindung mit dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist. Aus der Lorentztransformation ergibt sich nicht nur die Zeitdilatation, sondern ganz analog auch, dass räumliche Abstände für einen Beobachter in einem bewegten Bezugssystem umso stärker verkürzt sind, je schneller sich das Bezugssystem bewegt (Lorentz-Kontraktion). Daher ist für den reisenden Zwilling die zurückgelegte Strecke kürzer als die Strecke, die der daheimgebliebene Zwilling in seinem Bezugssystem beobachtet. Da die Reisegeschwindigkeit in beiden Bezugssystemen aber denselben Wert haben muss, weil andernfalls das Relativitätsprinzip verletzt wäre, ist die Reise für den reisenden Zwilling auch schneller beendet als für den daheimgebliebenen. Folglich ist beim Zusammentreffen der beiden der reisende Zwilling weniger gealtert.

Einfaches Beispiel mit Erläuterungen

Die Reise macht Zwillinge verschieden alt

Im Einzelnen lassen sich diese Zusammenhänge an einem einfachen Beispiel gut verfolgen: Betty fliegt mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit zu einem Stern. Ihre Zwillingsschwester Anna bleibt auf der Erde, die hier vereinfacht als ruhendes Inertialsystem angesehen werden soll. Anna weiß, dass der Stern sich in einer gleichbleibenden Entfernung von acht Lichtjahren zur Erde befindet, so dass Betty für den Hinflug zehn Jahre braucht. Betty kehrt sogleich wieder zurück, so dass Anna sie nach weiteren 10 Jahren wieder auf der Erde begrüßen kann. Anna ist 20 Jahre älter geworden, so zeigt es auch ihre Kalenderuhr an. Betty meint aber, ihre Reise habe nur 12 Jahre gedauert, und belegt dies mit ihrer genau gleichartigen Uhr, die sie mitgenommen hatte.<ref name="davies1996">Das ganze Beispiel ist ausführlich dargestellt in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Berechnung des Altersunterschieds

Beide haben recht. Widersprüchlich oder paradox erscheint dies aber, wenn man – der Alltagserfahrung folgend – davon ausgeht, dass Zeit eine unbeeinflussbare physikalische Größe ist, die im ganzen Universum gleichmäßig fortschreitet. Diese Annahme ist jedoch unzutreffend, wie zuerst von Albert Einstein gezeigt worden ist. Nach der von ihm ausgearbeiteten Relativitätstheorie, die heute in zahllosen Beobachtungen bestätigt ist, muss für jedes gleichförmig bewegte Bezugssystem eine eigene Zeit angesetzt werden. Dabei sind die Zeiten verschiedener Bezugsysteme einander gleichberechtigt, keine ist einer „wirklichen“ Zeit näher als die andere, denn eine solche universelle Zeit kann es gar nicht geben. Auf einen bestimmten Zeitablauf können sich Anna und Betty nur einigen, wenn sie relativ zueinander in Ruhe sind. Nur dann gehen auch ihre Uhren gleich schnell. Solange aber Betty sich mit einer Geschwindigkeit <math>v \ne 0 </math> entfernt oder nähert, läuft ihre Zeit, also auch ihre Uhr, im Vergleich zur Zeit von Annas Ruhesystem um den Faktor

<math>\gamma^{-1} = \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2}</math>

langsamer (siehe relativistische Zeitdilatation, <math>c</math> ist die Lichtgeschwindigkeit). Dieser Faktor ist der Kehrwert des in der Relativitätstheorie häufig anzuwendenden Lorentzfaktors <math>\gamma</math>. Für kleine Geschwindigkeiten (<math>v \ll c </math>) ist der Faktor praktisch gleich 1, die resultierende Auswirkung also nicht spürbar, er kann bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit aber sehr klein werden. Mit dem gleichen Faktor sind die auch räumliche Abstände kürzer, wenn sie in einem bewegten Bezugssystem bestimmt werden (Lorentzkontraktion).

Für das Beispiel wurde eine bei Raketenreisen technisch unrealistisch große Geschwindigkeit <math>v=0{,}8c</math> gewählt, um die Folgen zu verdeutlichen. Bettys Zeit geht demnach um den Faktor

<math>\gamma^{-1} = \sqrt{1 - 0{,}8 ^2}= \sqrt{0{,}36}= 0{,}6</math>

langsamer als die Zeit von Anna. Sowohl für den Hinflug als auch für den Rückflug braucht Betty in ihrer eigenen Zeit nicht 10 Jahre, sondern nur <math> 0{,}6 \cdot 10 = 6</math> Jahre. So ergibt sich, dass bei der Rückkehr die Uhr in Bettys Rakete nur 12 Jahre vorangeschritten ist, während ihre Abwesenheit in der Erdzeit ausgedrückt für Anna 20 Jahre dauerte. Sämtliche Vorgänge aller Arten, die zwischen Abflug und Rückkehr passieren, haben für Anna insgesamt 20 Jahre gedauert, für Betty nur 12. So ist zum Beispiel auch Anna 20 Jahre älter geworden, Betty nur 12. Sobald aber Anna und Betty wieder ein gemeinsames Ruhesystem haben und gleichzeitig ihre Uhren ablesen können, vergeht die Zeit für beide wieder gleich schnell.

Warum ist nicht Anna nun auch die jüngere von beiden?

Aus dem entstandenen Altersunterschied ergibt sich ein zweiter Aspekt des Paradoxons: Sollte nun nicht auch Anna jünger sein als Betty? Von Betty aus gesehen ist es doch die auf der Erde bleibende Schwester Anna, die sich von ihr erst entfernt und dann zu ihr zurückkommt. Dann sollte es aufgrund derselben Überlegungen wie oben doch umgekehrt Anna sein, die nun jünger ist als Betty. Aber dass jede von beiden die Jüngere sein soll, ist logisch unmöglich. Für die Auflösung dieses Paradoxons ist zu beachten, dass der Lorentzfaktor für die Berechnung benötigt wird, mit der man die Raum-Zeit-Koordinaten desselben Ereignisses von einem Bezugssystem ins andere übersetzt, während wirkliche Paradoxien nur entstehen, wenn gemachte Beobachtungen einander widersprechen.

Die Beobachtungen von Anna und Betty sind konsistent

Um das näher auszuführen, nehmen wir an, dass Anna und Betty mithilfe von Teleskopen gegenseitig ihre Uhren beobachten können. Wenn Betty im Jahr 2000 gestartet ist, kommt sie nach Annas Zeitskala 2010 am Stern an. Wenn sich auf dem Stern, der relativ zur Erde ja in Ruhe ist, eine dritte Uhr befände, würde sie die Zeit von Annas Bezugssystem anzeigen, also das Jahr 2010. Bettys Uhr zeigt bei Ankunft am selben Ort dann aber das Jahr 2006. Der Unterschied zur auf dem Stern ruhenden Uhr ist die mit dem Lorentzfaktor berechnete relativistische Zeitdilatation. Sehen kann Anna die Ankunft von Betty am Stern wegen der Laufzeit des Lichts aber erst 8 Jahre später, für sie also im Jahr 2018. Eine schnellere Übertragung des Bildes zu Erde ist physikalisch unmöglich. Demnach beobachtet Anna, dass der Hinflug ihrer Schwester 18 Jahre dauert, dreimal länger als die 6 Jahre, die Anna dafür auf Bettys Uhr abliest. Der Unterschied zur reinen Zeitdilatation entsteht durch den Doppler-Effekt. Nach der Klassischen Physik erzeugt er, wenn der Abstand zunimmt, in den Beobachtungen eine Zeitdehnung um den Faktor <math>(1-v/c)</math>, und für die relativistische Berechnung muss noch die Zeitdilatation mit dem oben genannten Lorentzfaktor <math>1/\sqrt{1 - ( \tfrac{v}{c} ) ^2} </math> berücksichtigt werden. Das Produkt aus beiden Faktoren ist <math>\sqrt{\tfrac{c-v}{c+v} } </math> und hat hier den Wert 1/3. Das heißt: Wenn Anna einen Vorgang in Bettys Rakete beobachtet, dann läuft er in ihrer Wahrnehmung dreimal langsamer ab, als Betty es in ihrem Ruhesystem beobachtet. Das gilt auch umgekehrt: Wenn Betty in ihrem Jahr 2006 am Stern ankommt, ist es bei Anna das Jahr 2010, aber das Bild von Annas Uhr, das Betty bei ihrer Landung am Stern empfängt, war schon 8 Jahre früher gesendet worden. Daher sieht Betty Annas Uhr, wie diese das Jahr 2002 anzeigt. Auch Betty beobachtet also, dass Annas Uhr dreimal langsamer geht als ihre eigene. Wenn Betty danach zurückfliegt, was nach ihrer Zeit 6 Jahre dauert, kehrt sich der Dopplerfaktor um (weil in der Formel das Vorzeichen von <math>v</math> wechselt): Jetzt sieht Betty Annas Uhr und alle anderen Vorgänge bei Anna nicht dreimal langsamer laufen als ihre eigene, sondern dreimal schneller. Zum Beispiel sieht Betty während des Rückflugs, der nach ihrer Zeit 6 Jahre dauert, die Erde nicht 6 mal um die Sonne kreisen, sondern 18 mal. Wenn Betty dann auf der Erde landet, weiß sie, dass dort das Jahr 2020 ist, dass also Anna 20 Jahre älter geworden ist, sie selbst aber nur 12. Es gibt keinen Widerspruch zwischen den Beobachtungen von Anna und Betty.

Warum ergeben sich nicht spiegelbildlich gleiche Vorhersagen für beide?

Es liegt aber immer noch der Eindruck nahe, dass man nur den Standpunkt zu wechseln braucht, um zu dem logisch widersinnigen Schluss zu kommen, dass auch Anna beim Wiedersehen die jüngere sein müsste. Denn genauso wie es in Annas Ruhesystem Betty ist, die eine Rundreise macht, so macht in Bettys Ruhesystem Anna (zusammen mit der ganzen Erde) eine Rundreise. Die beiden Reisen scheinen vielleicht oberflächlich betrachtet spiegelbildlich gleich auszusehen. Tatsächlich bestehen aber wesentliche physikalische Unterschiede. Zum einen dauert es für Anna von Betty aus gesehen nicht 10, sondern nur 6 Jahre, bis sie den Umkehrpunkt erreicht und nach weiteren 6 Jahren zu ihr zurückkommt. Bei der Geschwindigkeit <math>v=0{,}8c</math> ist Annas Umkehrpunkt in Bettys Ruhesystem demnach nicht 8 Lichtjahre entfernt (wie Bettys Umkehrpunkt für Anna), sondern nur <math>6 \cdot 0{,}8=4{,}8</math> Lichtjahre. Die Formeln der Relativitätstheorie lassen Betty dann erwarten, dass Anna um denselben Faktor 0,6 (siehe oben) weniger gealtert ist als sie (Betty) selbst, also nur um <math>12 \cdot 0{,}6=7{,}2</math> Jahre.

Diese Formeln gelten aber nur für die Beziehungen zwischen je zwei Inertialsystemen, also Bezugssystemen, die sich nur mit konstanter Geschwindigkeit gegeneinander bewegen. Nun ist es aber logisch unmöglich, dass beide Schwestern die ganze Zeit in je einem Inertialsystem in Ruhe waren. Eine von beiden muss ihr Inertialsystem verlassen haben, zum Beispiel in ein drittes mit entgegengesetzt gerichteter Geschwindigkeit umgestiegen sein, sonst könnten sie sich gar nicht wieder an einem Ort treffen. Beim Wiedersehen können sich Anna und Betty auch gemeinsam davon überzeugen, dass nur Betty diesen Wechsel gemacht hat, denn er geht unweigerlich mit beobachtbaren Effekten wie Beschleunigung und Trägheitskräften einher. Zum Beispiel ist bei Betty, als ihre Rakete (in Annas Ruhesystem) wendete, ein Teller vom Tisch gerutscht, bei Anna zuhause (als sie in Bettys Ruhesystem „wendete“) nicht. Das Relativitätsprinzip würde in der einfachen Form anwendbar sein, wenn beide nicht nur die entgegengesetzt gleichen Ortsveränderungen erlebt hätten (was schon nicht erfüllt ist, s. o.), sondern auch die entgegengesetzt gleichen Beschleunigungen. Wenn sie zum Beispiel von der Erde gleichzeitig und mit gleicher Beschleunigung und Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen losfliegen, nach derselben Zeit wenden und auch gleichzeitig wieder zurückkommen – dann wären sie bei der Ankunft tatsächlich gleich alt.

Die Beschleunigungen markieren den Unterschied, sind aber selbst nicht die wirksame Ursache

Dabei sind es aber nicht die Beschleunigungen selbst, die als physikalische Ursache die Verlangsamung des Zeitablaufs bewirken. Das zeigt sich etwa nach einer kleinen Änderung von Bettys Reiseplan: Betty bleibt nach dem Abschied von Anna noch 19 Jahre auf der Erde, startet und beschleunigt auf ihre Reisegeschwindigkeit <math>v=0{,}8c</math>. Dann wendet sie aber schon nach so kurzer Zeit, dass sie genau wie ursprünglich geplant nach 20 Erdjahren wieder auf der Erde landet. Sie ist dann seit dem Abschied von Anna nicht bloß 12 Jahre gealtert, sondern fast 20 Jahre, denn schon beim Start waren ja 19 Jahre vergangen. Sie hat aber die gleichen Beschleunigungen erlebt wie auf der ursprünglich geplanten Reise bis zum Stern und zurück, auf der sie nur 12 Jahre älter geworden wäre. Daher können nicht die Beschleunigungen selbst die physikalische Ursache des verschiedenen Alterns der beiden Zwillinge sein, sondern die erreichte Geschwindigkeit und die Dauer der Reise.

Experimentelle Bestätigung

Das Zwillingsparadoxon beruht auf der relativistischen Zeitdilatation, die ihrerseits in vielen Experimenten geprüft wurde. Im folgenden werden nur zwei Experimente dargestellt, die sich eng an das Szenario des Zwillingsparadoxons anlehnen, aber große Unterschiede in der Reisegeschwindigkeit und in der zurückgelegten Strecke zeigen.

Hafele-Keating-Experiment

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Im Jahr 1971 flogen Joseph C. Hafele und Richard E. Keating von Washington, D.C. aus mit Linienflugzeugen auf etwa 30° nördlicher Breite zweimal rund um die Erde, einmal ostwärts und einmal westwärts. Auf ihren Nachbarsitzen reisten vier Cäsium-Atomuhren mit, gebucht auf den Namen „Mr. Clock“.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} PTTI (Precise Time and Time Interval) ist in den USA der offizielle Zeitstandard.</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Vor, zwischen und nach den beiden Rundflügen verglichen sie den Uhrenstand mit dem Mittelwert aus einigen Dutzend Atomuhren, die in Washington, D.C., fest am Ort blieben und das offizielle Zeitzeichen der USA definierten. Zum idealen Szenario des Zwillingsparadoxons gibt es dabei einige wichtige Unterschiede:

• Die „ortsfesten“ Atomuhren ruhen hier in einem erdfesten Bezugssystem. Daher befinden sie sich nicht in Ruhe, sondern nehmen an den Umdrehungen der Erde um sich selbst und – weniger wichtig – an ihrem Umlauf um die Sonne teil. Im Bezugssystem mit ruhender Sonne, das einem Inertialsystem erheblich näherkommt, starten die „ortsfesten“ und die um die Erde geflogenen Uhren von einem bestimmten Punkt aus und kommen zwei Tage später nach verschieden langen Reisen an einem anderen Punkt wieder zusammen. Die in Washington gebliebenen Uhren haben dann durch die Drehung der Erde zwei mal die Erde umrundet, die ostwärts geflogenen Uhren einmal mehr, ihre Reise ist also eine Erdumrundung länger. Die westwärts geflogenen Uhren umrunden die Erde einmal weniger, ihre Reise ist also um eine Erdumrundung kürzer. Nach der Vorhersage der speziellen Relativitätstheorie gehen dann die ostwärts geflogenen Uhren im Vergleich zu den in Washington gebliebenen um ca. 184 Nanosekunden (ns) nach, die westwärts geflogenen Uhren um 96 ns vor.<ref group="Anm.">Ob der Zwilling nach seiner Rundreise mit Sicherheit jünger ist als der Zwilling, der auf der Erde zu Hause geblieben war, hängt daher von der Reiseroute ab. Nur wenn einer der beiden in einem Inertialsystem in Ruhe war, ist die Antwort so eindeutig wie im Zwillingsparadoxon formuliert.</ref> Die Zeitdilatation fällt so gering aus, weil die Fluggeschwindigkeit viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, nur etwa der Millionste Teil.
• Der Gang der Uhren im Flugzeug wird nicht nur verlangsamt, wie es die Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie angibt, sondern auch beschleunigt, weil sich nach der allgemeinen Relativitätstheorie schon in der normalen Flughöhe das höhere Gravitationspotential auswirkt. Die ostwärts geflogenen Uhren werden demnach um 144 ns beschleunigt, die westwärts geflogenen um 179 ns (die Routen, Höhen und Dauern der Flüge waren nicht genau gleich).

Gemäß der Summe beider theoretischen Vorhersagen sollten die ostwärts geflogenen Uhren (mit Unsicherheitsgrenzen) um 40 ± 23 ns nachgehen, die westwärts geflogenen um 275 ± 21 ns vorgehen. Solche Zeitdifferenzen gegenüber den ortsfesten Uhren ließen sich 1971 an den transportablen Atomuhren nicht zweifelsfrei ablesen, denn diese driften nicht nur aus unbeherrschbaren Ursachen zwischen 20 und 50 ns pro Tag auseinander, sondern lassen auch die Driftraten immer wieder mal auf einen unvorhersagbaren neuen Wert springen. Daher wurde für jede der vier geflogenen Uhren vor und nach jedem Flug die Konstanz der Driftrate über 1–2 Wochen überprüft. Für jede dieser Uhren wurde aus den voranstehenden Beobachtungen extrapoliert, welche Zeit sie zum Zeitpunkt der Landung anzeigen würde, wenn sie nicht geflogen wäre. Daraus wurden die Zeitdifferenzen zu dem Mittelwert der Anzeige der ortsfesten Uhren bestimmt. Der Mittelwert der Differenzen war −59 ± 10 ns Verzögerung für die Reise ostwärts, und 273 ± 7 ns Beschleunigung für die Reise westwärts. Das bedeutet gute Übereinstimmung mit der theoretischen Vorhersage, womit das Zwillingsparadoxon experimentell bestätigt war.

<references group="Anm." />

Myonen-Speicherring-Experiment

Ein Myon ist ein kurzlebiges Elementarteilchen, das sich mit einer Halbwertszeit von 1,7 Mikrosekunden (μs) in ein hochenergetisches Elektron umwandelt. 1975 wurde bei CERN ein Strahl aus Myonen künstlich so erzeugt, dass sie 99,94 % der Lichtgeschwindigkeit hatten. Durch eine enge Blende flogen sie in einen Speicherring ein. Ein kleiner Teil der Myonen prallte dabei aber auf das Blendenmaterial und wurde darin schnell gestoppt. Danach ruhten sie und zeigten die erwartete Umwandlung in Elektronen. Diese wurden in einem benachbarten Detektor gezählt. Die Zählrate nahm, wie erwartet, mit der Halbwertszeit 1,7 μs ab. Dies ist die Halbwertszeit der ruhenden Myonen.

Die durch die Blende hindurch geflogenen Myonen wurden im Speicherring durch starke Magnetfelder auf einen 45 m langen Rundkurs geführt, so dass sie alle 150 Nanosekunden (ns) wieder nahe an der Eintrittsstelle vorbeikamen, um sogleich die nächste Runde anzutreten. Diese Myonen zeigten eine 30fach verlängerte Halbwertszeit. Der Faktor 30 ist genau der oben erwähnte inverse Lorentzfaktor passend zur Myonengeschwindigkeit <math>v=0{,}9994 \, c</math>. Z. B. hatte sich nach 10 μs Laborzeit die Anzahl ruhenden Myonen schon <math>6</math> mal halbiert, so dass nur noch <math>\tfrac{1}{64}\; [=(\tfrac12) ^6 ] </math> von ihnen übrig waren. Die fliegenden Myonen hingegen hatten zwar schon 66 Runden vollendet, dafür aber in ihrer Zeit nur <math>\tfrac{10 \text{μs}}{30}=\tfrac13 \text{μs}</math> gebraucht. Dementsprechend waren noch 85 % von ihnen vorhanden. (Eine mitfliegende Uhr würde dann auch nicht 10 μs Flugzeit anzeigen, sondern nur <math>\tfrac13 \text{μs}</math>.)<ref name="Bailey 1977">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="SexlSchmidt">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Zum idealen Szenario des Gedankenexperiments besteht hier der Unterschied, dass man an einem einzelnen Myon so etwas wie „Altern“ überhaupt nicht feststellen kann, denn anders als Uhren oder Menschen bleiben Elementarteilchen sich in allen inneren physikalischen Eigenschaften völlig gleich (siehe auch Identische Teilchen). Die Lebenszeitverlängerung durch die hohe Fluggeschwindigkeit kommt nicht dadurch zustande, dass irgendwelche inneren Prozesse, die im Myon den Zerfall vorbereiten würden, langsamer ablaufen, denn da gibt es keine Prozesse. Dass ihre Halbwertszeit 30-mal länger geworden ist, liegt daran, dass es die Zeit selbst ist, die vom Bezugssystem des Labors aus betrachtet wegen der Zeitdilatation im mitfliegenden Bezugssystem 30-mal langsamer vergeht.

Die relativistischen Formeln für die Zeitdilatation wurden durch dieses Experiment mit einer Genauigkeit von 0,2 % bestätigt. Das zeigt auch, dass der Gang der Zeit durch eine Beschleunigung als solche nicht beeinflusst wird, denn die Myonen im Speicherring unterlagen einer Zentripetalbeschleunigung von etwa 10¹⁸g.

Geschichte

Von Uhren zu Zwillingen

Albert Einstein schilderte 1905 erstmals ein Rundreiseexperiment mit Uhren, auf dem das Zwillingsparadoxon basiert:

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Im Januar 1911 dehnte er diese Überlegung auf lebende Organismen aus:

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Im April 1911 erlangte das Experiment besondere Bekanntheit durch Paul Langevin:

{{#ifeq: {{{vor}}}@@-@@{{{nach}}} | -@@-@@- | {{#if:trim|Es würde genügen, dass unser Reisender sich bereit erklärt, sich in ein Geschoss zu setzen, das von der Erde mit einer Geschwindigkeit abgeschossen wird, die nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt [...] Er kehrt zur Erde zurück, gealtert um zwei Jahre, steigt aus seiner Arche und findet unseren Globus um zweihundert Jahre gealtert, wenn seine Geschwindigkeit nur um ein Zwanzigtausendstel unter der Lichtgeschwindigkeit liegt.}} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|@#@}}{{#if:|{{{nach}}}|@#@}} | @#@@#@ | {{#ifeq: de | de | „{{#if:trim|Es würde genügen, dass unser Reisender sich bereit erklärt, sich in ein Geschoss zu setzen, das von der Erde mit einer Geschwindigkeit abgeschossen wird, die nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt [...] Er kehrt zur Erde zurück, gealtert um zwei Jahre, steigt aus seiner Arche und findet unseren Globus um zweihundert Jahre gealtert, wenn seine Geschwindigkeit nur um ein Zwanzigtausendstel unter der Lichtgeschwindigkeit liegt.}}“ | {{#invoke:Text|quoteUnquoted| Es würde genügen, dass unser Reisender sich bereit erklärt, sich in ein Geschoss zu setzen, das von der Erde mit einer Geschwindigkeit abgeschossen wird, die nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt [...] Er kehrt zur Erde zurück, gealtert um zwei Jahre, steigt aus seiner Arche und findet unseren Globus um zweihundert Jahre gealtert, wenn seine Geschwindigkeit nur um ein Zwanzigtausendstel unter der Lichtgeschwindigkeit liegt. | {{{lang}}} }} }} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|-}} | - | | {{{vor}}} }}{{#if:trim|Es würde genügen, dass unser Reisender sich bereit erklärt, sich in ein Geschoss zu setzen, das von der Erde mit einer Geschwindigkeit abgeschossen wird, die nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt [...] Er kehrt zur Erde zurück, gealtert um zwei Jahre, steigt aus seiner Arche und findet unseren Globus um zweihundert Jahre gealtert, wenn seine Geschwindigkeit nur um ein Zwanzigtausendstel unter der Lichtgeschwindigkeit liegt.}}{{ #ifeq: {{#if:|{{{nach}}}|-}} | - | | {{{nach}}} }} }} }}{{ #if: Paul Langevin: L'évolution de l'espace et du temps. || <ref name="langevin1" /> }}

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Daraufhin sprach Wiechert (1911)<ref name="wiechert1" /> von „Zwei Lebewesen [..] die ihr Leben gleichzeitig beginnen“, Gruner (1912)<ref name="gruner" /> von „Zwei Personen desselben Alters“, Laue (1913)<ref name="laue1" /> von „ehemaligen Altersgenossen“, und schließlich sprach Hermann Weyl im Jahre 1918 ausdrücklich von Zwillingen:

{{#ifeq: {{{vor}}}@@-@@{{{nach}}} | -@@-@@- | {{#if:trim|Von zwei Zwillingsbrüdern, die sich in einem Weltpunkt A trennen, bleibe der eine in der Heimat (d. h. ruhe dauernd in einem tauglichen Bezugsraum), der andere aber unternehme Reisen, bei denen er Geschwindigkeiten (relativ zur »Heimat«) entwickelt, die der Lichtgeschwindigkeit nahekommen; dann wird sich der Reisende, wenn er dereinst in die Heimat zurückkehrt, als merklich jünger herausstellen denn der Seßhafte.}} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|@#@}}{{#if:|{{{nach}}}|@#@}} | @#@@#@ | {{#ifeq: de | de | „{{#if:trim|Von zwei Zwillingsbrüdern, die sich in einem Weltpunkt A trennen, bleibe der eine in der Heimat (d. h. ruhe dauernd in einem tauglichen Bezugsraum), der andere aber unternehme Reisen, bei denen er Geschwindigkeiten (relativ zur »Heimat«) entwickelt, die der Lichtgeschwindigkeit nahekommen; dann wird sich der Reisende, wenn er dereinst in die Heimat zurückkehrt, als merklich jünger herausstellen denn der Seßhafte.}}“ | {{#invoke:Text|quoteUnquoted| Von zwei Zwillingsbrüdern, die sich in einem Weltpunkt A trennen, bleibe der eine in der Heimat (d. h. ruhe dauernd in einem tauglichen Bezugsraum), der andere aber unternehme Reisen, bei denen er Geschwindigkeiten (relativ zur »Heimat«) entwickelt, die der Lichtgeschwindigkeit nahekommen; dann wird sich der Reisende, wenn er dereinst in die Heimat zurückkehrt, als merklich jünger herausstellen denn der Seßhafte. | {{{lang}}} }} }} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|-}} | - | | {{{vor}}} }}{{#if:trim|Von zwei Zwillingsbrüdern, die sich in einem Weltpunkt A trennen, bleibe der eine in der Heimat (d. h. ruhe dauernd in einem tauglichen Bezugsraum), der andere aber unternehme Reisen, bei denen er Geschwindigkeiten (relativ zur »Heimat«) entwickelt, die der Lichtgeschwindigkeit nahekommen; dann wird sich der Reisende, wenn er dereinst in die Heimat zurückkehrt, als merklich jünger herausstellen denn der Seßhafte.}}{{ #ifeq: {{#if:|{{{nach}}}|-}} | - | | {{{nach}}} }} }} }}{{ #if: Hermann Weyl: Raum-Zeit-Materie. || <ref name="weyl" /> }}

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Paradox?

Max von Laue (1911/12)<ref name="laue1" /> war der Erste<ref name="miller" /> der das Rundreiseexperiment als „paradox“ bezeichnete:

{{#ifeq: {{{vor}}}@@-@@{{{nach}}} | -@@-@@- | {{#if:trim|Unter all den paradox erscheinenden Folgerungen aus der Zeittransformation der Relativitätstheorie gibt es wohl keine, gegen welche sich der natürliche Menschenverstand bei jedem, der der Sache noch ungewohnt ist, so sehr sträubt, wie gegen die, daß die Zeitangabe einer Uhr von ihrem Bewegungszustand abhängen soll. Schon in seiner grundlegenden Arbeit hat Einstein diese Paradoxie auf die Spitze getrieben in einem Gedankenexperiment, welches neuerdings von Langevin in einem auch sonst sehr lesenswerten Vortrage besonders hübsch erläutert worden ist.}} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|@#@}}{{#if:|{{{nach}}}|@#@}} | @#@@#@ | {{#ifeq: de | de | „{{#if:trim|Unter all den paradox erscheinenden Folgerungen aus der Zeittransformation der Relativitätstheorie gibt es wohl keine, gegen welche sich der natürliche Menschenverstand bei jedem, der der Sache noch ungewohnt ist, so sehr sträubt, wie gegen die, daß die Zeitangabe einer Uhr von ihrem Bewegungszustand abhängen soll. Schon in seiner grundlegenden Arbeit hat Einstein diese Paradoxie auf die Spitze getrieben in einem Gedankenexperiment, welches neuerdings von Langevin in einem auch sonst sehr lesenswerten Vortrage besonders hübsch erläutert worden ist.}}“ | {{#invoke:Text|quoteUnquoted| Unter all den paradox erscheinenden Folgerungen aus der Zeittransformation der Relativitätstheorie gibt es wohl keine, gegen welche sich der natürliche Menschenverstand bei jedem, der der Sache noch ungewohnt ist, so sehr sträubt, wie gegen die, daß die Zeitangabe einer Uhr von ihrem Bewegungszustand abhängen soll. Schon in seiner grundlegenden Arbeit hat Einstein diese Paradoxie auf die Spitze getrieben in einem Gedankenexperiment, welches neuerdings von Langevin in einem auch sonst sehr lesenswerten Vortrage besonders hübsch erläutert worden ist. | {{{lang}}} }} }} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|-}} | - | | {{{vor}}} }}{{#if:trim|Unter all den paradox erscheinenden Folgerungen aus der Zeittransformation der Relativitätstheorie gibt es wohl keine, gegen welche sich der natürliche Menschenverstand bei jedem, der der Sache noch ungewohnt ist, so sehr sträubt, wie gegen die, daß die Zeitangabe einer Uhr von ihrem Bewegungszustand abhängen soll. Schon in seiner grundlegenden Arbeit hat Einstein diese Paradoxie auf die Spitze getrieben in einem Gedankenexperiment, welches neuerdings von Langevin in einem auch sonst sehr lesenswerten Vortrage besonders hübsch erläutert worden ist.}}{{ #ifeq: {{#if:|{{{nach}}}|-}} | - | | {{{nach}}} }} }} }}{{ #if: Max von Laue: Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung. || <ref name="laue1" /> }}

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Datei:RobbTriangle.svg

Abb. H1: Inverse Dreiecksungleichung (Robb, 1920).

In derselben Arbeit widerlegte Laue den beispielsweise von Wiechert (1911)<ref name="wiechert1" /> erhobenen Einwand, wonach ein reeller Zeitunterschied bei der Wiederkehr der reisenden Uhr im Widerspruch zu der vom Relativitätsprinzip geforderten Gleichberechtigung der Bewegungen und Bezugssysteme der beiden Uhren sei, und somit eine Anisotropie bzw. Ungleichwertigkeit ihrer Bewegungen bezüglich eines Lorentzschen Äthers vorliege. Laue wies dies zurück indem er zeigte, dass der Unterschied zwischen den Uhren lediglich darin liegt, dass zwei Punkte mittels Weltlinien eben auf unterschiedliche Weise im Minkowski-Raum verbunden werden können, wobei die Eigenzeit der Uhr auf der geraden Weltlinie immer am größten ist; die vom Relativitätsprinzip geforderte Isotropie aller zeitartigen Abstände im Minkowski-Raum bleibt also gewahrt; und solange das Relativitätsprinzip von den Experimenten gestützt wird, könne der Äther aus der Physik verbannt und der Philosophie überlassen werden. Vor Laue hat schon Langevin (1911) auf die Anwendung des Eigenzeitintegrals zur Berechnung des Zeitunterschieds beim Rundreiseexperiment verwiesen,<ref name="langevin1" /> was in den Lehrbüchern von Laue (1913),<ref name="laue2" /> Sommerfeld (1913),<ref name="sommerfeld" /> oder Weyl (1918)<ref name="weyl" /> explizit dargestellt wurde. Im einfachsten Fall, wo der Reisende nur einmal kurz seine Richtung umkehrt, reduziert sich dies zu der von Robb (1914, 1920)<ref name="robb1" /><ref name="robb2" /> und anderen beschriebenen inversen Dreiecksungleichung im Minkowski-Raum, wonach eine bestimmte Seite die maximale Eigenzeit darstellt und dementsprechend länger ist als die beiden anderen Seiten zusammen.

Eine weitere (unrichtige) Anwendung des Relativitätsprinzips führt zu einem weiteren scheinbaren Paradoxon, wonach je nach Wahl des Bezugssystems die eine oder die andere Uhr beim Zusammentreffen nachgehen müsste aufgrund der Symmetrie der Zeitdilatation, so dass sich zwei gegensätzliche Aussagen ergeben. Diesen Fehler beging beispielsweise Gruner (ein Förderer Einsteins) im Jahre 1912,<ref name="gruner" /> was von Einstein (1918) selbst widerlegt wurde in einem (fiktiven) „Dialog über Einwände gegen die Relativitätstheorie“.<ref name="einstein18" /> Dabei benutzte Einstein das von Langevin (1911),<ref name="langevin1" /> Sommerfeld (1913),<ref name="sommerfeld" /> und Lorentz (1914)<ref name="lorentz" /> stammende Argument, wonach der Fall nicht symmetrisch ist da nur eine der Uhren beschleunigt wird, wobei Einstein betonte, dass eine Symmetrie vom Relativitätsprinzip in diesem Fall auch nicht gefordert wird, da dieses nur die Gleichberechtigung von (unbeschleunigten) Inertialsystemen fordert. 1920 fasste Moszkowski ein Interview mit Einstein so zusammen:

{{#ifeq: {{{vor}}}@@-@@{{{nach}}} | -@@-@@- | {{#if:trim|Trifft A wieder bei B ein, so kann es sich ereignen, daß der beharrende Zwilling inzwischen 60 Erdjahre alt geworden ist, während der zurückkehrende nur 15 Jahre zählt, oder sich gar noch im Säuglingsstadium befindet. [..] Bei diesen Zwillingen, erklärte Einstein, haben wir zunächst eine Gefühls-Paradoxie vor uns. Eine Denk-Paradoxie würde indeß nur dann vorliegen, wenn sich für das Verhalten der beiden Geschöpfe kein zureichender Grund anführen ließe. Dieser Grund für das Jüngerbleiben des A ergibt sich vom Gesichtspunkt der speziellen Relativitätstheorie aus der Tatsache, daß das betreffende Geschöpf — und nur dieses — Beschleunigungen erlitten hat.}} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|@#@}}{{#if:|{{{nach}}}|@#@}} | @#@@#@ | {{#ifeq: de | de | „{{#if:trim|Trifft A wieder bei B ein, so kann es sich ereignen, daß der beharrende Zwilling inzwischen 60 Erdjahre alt geworden ist, während der zurückkehrende nur 15 Jahre zählt, oder sich gar noch im Säuglingsstadium befindet. [..] Bei diesen Zwillingen, erklärte Einstein, haben wir zunächst eine Gefühls-Paradoxie vor uns. Eine Denk-Paradoxie würde indeß nur dann vorliegen, wenn sich für das Verhalten der beiden Geschöpfe kein zureichender Grund anführen ließe. Dieser Grund für das Jüngerbleiben des A ergibt sich vom Gesichtspunkt der speziellen Relativitätstheorie aus der Tatsache, daß das betreffende Geschöpf — und nur dieses — Beschleunigungen erlitten hat.}}“ | {{#invoke:Text|quoteUnquoted| Trifft A wieder bei B ein, so kann es sich ereignen, daß der beharrende Zwilling inzwischen 60 Erdjahre alt geworden ist, während der zurückkehrende nur 15 Jahre zählt, oder sich gar noch im Säuglingsstadium befindet. [..] Bei diesen Zwillingen, erklärte Einstein, haben wir zunächst eine Gefühls-Paradoxie vor uns. Eine Denk-Paradoxie würde indeß nur dann vorliegen, wenn sich für das Verhalten der beiden Geschöpfe kein zureichender Grund anführen ließe. Dieser Grund für das Jüngerbleiben des A ergibt sich vom Gesichtspunkt der speziellen Relativitätstheorie aus der Tatsache, daß das betreffende Geschöpf — und nur dieses — Beschleunigungen erlitten hat. | {{{lang}}} }} }} | {{#ifeq: {{#if:|{{{vor}}}|-}} | - | | {{{vor}}} }}{{#if:trim|Trifft A wieder bei B ein, so kann es sich ereignen, daß der beharrende Zwilling inzwischen 60 Erdjahre alt geworden ist, während der zurückkehrende nur 15 Jahre zählt, oder sich gar noch im Säuglingsstadium befindet. [..] Bei diesen Zwillingen, erklärte Einstein, haben wir zunächst eine Gefühls-Paradoxie vor uns. Eine Denk-Paradoxie würde indeß nur dann vorliegen, wenn sich für das Verhalten der beiden Geschöpfe kein zureichender Grund anführen ließe. Dieser Grund für das Jüngerbleiben des A ergibt sich vom Gesichtspunkt der speziellen Relativitätstheorie aus der Tatsache, daß das betreffende Geschöpf — und nur dieses — Beschleunigungen erlitten hat.}}{{ #ifeq: {{#if:|{{{nach}}}|-}} | - | | {{{nach}}} }} }} }}{{ #if: Alexander Moszkowski: Einstein. Einblicke in seine Gedankenwelt. || <ref name="mosz" /> }}

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Datei:Zwillingsparadoxon.png

Abb. H2: Unterschied in den Gleichzeitigkeits-ebenen der beiden Inertialsysteme des Reisenden mittels Lorentz-Transformation (Thirring, 1921) oder Äquivalenzprinzip (Einstein, 1918).

Wie Laue (1913)<ref name="laue2" /><ref name="laue3" /> zeigte, kann diese Asymmetrie auch ohne besonderen Hinweis auf die Beschleunigung ausgedrückt werden durch Betonung der unterschiedlichen Verteilung der Inertialsysteme, da nur eine Uhr durchgehend in einem Inertialsystem verbleibt während die reisende Uhr nacheinander in mindestens zwei Inertialsystemen ruhte. Die Asymmetrie in der Perspektive des Reisenden während der Umkehrphase, in der er sein Inertialsystem wechselt, wodurch die Symmetrie der Zeitdilatation durchbrochen wird, wurde auch quantitativ mittels verschiedener Methoden dargestellt: Langevin (1911)<ref name="langevin1" /> benutzte dafür den Dopplereffekt von Einweglichtsignalen, wobei für den Reisenden die Frequenzänderung der Erdsignale sofort bei der Richtungsumkehr eintritt. Lorentz (1914)<ref name="lorentz" /> benutzte Zweiweglichtsignale, aus denen sich ergibt, dass die Erduhr aus Sicht des Reisenden während der Inertialphasen tatsächlich dilatiert ist, was aber während der Umkehrphase durch einen scheinbar schnelleren Gang überkompensiert wird. Diese Überkompensation wurde auch von Thirring (1921)<ref name="thirring" /> festgestellt durch direkte Anwendung der Lorentz-Transformation, da sich aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit während der Umkehrphase aus Sicht des Reisenden eine Änderung der Gleichzeitigkeitsebene bzw. Desynchronisation der Uhren des Reisenden ergibt.

Nach Vollendung der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) wurde die Asymmetrie in der Perspektive des Reisenden von Einstein (1918)<ref name="einstein18" /> mittels Äquivalenzprinzip geschildert, welches die Gleichwertigkeit eines gleichförmig beschleunigten Bezugssystems mit einem homogenen Gravitationsfeld fordert, und mittels Machschem Prinzip, wonach dieses Gravitationsfeld möglicherweise durch relative Beschleunigung der fernen Massen entsteht. In dieser Erklärung ist die Erduhr im beschleunigten Bezugssystem des Reisenden an einem Ort höheren Gravitationspotentials als die Uhr des Reisenden, wodurch sich auch hier die oben erwähnte Überkompensation ergibt. Diese Erklärung wurde in den Lehrbüchern von Pauli (1921),<ref name="pauli" /> Kopff (1921),<ref name="kopff" /> Born (1921)<ref name="born" /> übernommen, wobei die Autoren dies als die „vollständige“ Erklärung des Zwillingsparadoxons bezeichneten, da nun beide Bezugssysteme der Zwillinge durchgehend gleichberechtigt sind, was nur im Rahmen der ART möglich sei. In modernen Texten wird jedoch gezeigt dass die ART für die Schilderung des beschleunigten Bezugssystems keineswegs notwendig ist:<ref>Physics FAQ: The Twin Paradox: The Equivalence Principle Analysis von Michael Weiss</ref> Da sich das Zwillingsparadoxon vollständig im flachen Minkowski-Raum der SRT abspielt und auch beschleunigte Bezugssysteme im Rahmen der SRT benutzt werden können (siehe Beschleunigung (spezielle Relativitätstheorie)), hat Einsteins Erklärung eigentlich nichts mit der ART als Theorie der gekrümmten Raumzeit zu tun, sondern ist nur eine Reformulierung von Thirrings Desynchronisationsmethode unter Benutzung von „Pseudo“-Gravitationsfeldern. Was das Machsche Prinzip betrifft, so ist es unklar ob und in welcher Form es überhaupt mit der Relativitätstheorie zu vereinbaren ist.

Datei:WiechertTwin.svg

Abb. H3: Differentielles Altern auch bei gleichen Beschleunigungen (Wiechert, 1911)

Datei:Wiechert1922a.png

Abb. H4: Stafette ohne Beschleunigung (Wiechert, 1922)

Während die Beschleunigung bzw. Bezugssystemwechsel als Asymmetrieargument in der Perspektive des Reisenden nützlich war um auf Symmetrie beruhende Einwände gegen das Zwillingsparadoxon zurückzuweisen, wurde auch klargestellt dass für die Berechnungen im Inertialsystem des Stubenhockers jeder Einfluss der Eigenbeschleunigung auf den Reisenden irrelevant ist: Gemäß Einstein (1911/12),<ref name="einstein3" /> Laue (1913)<ref name="laue3" /> Born (1921)<ref name="born" /> und anderen können Dauer und jeder direkte Einfluss der Beschleunigung auf den Uhrengang des Reisenden während der Umkehrphase beliebig klein und somit vernachlässigbar gemacht werden, indem Dauer der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und somit der Einfluss der Zeitdilatation beliebig groß gemacht wird. Gemäß Wiechert (1911)<ref name="wiechert1" /> kann ein Zeitunterschied bei der Wiederkehr selbst dann auftreten wenn beide Uhren gleiche Geschwindigkeitsänderungen durchführen; bewegen sich nämlich beide Uhren anfangs mit der Geschwindigkeit <math>+u</math>, kommen zur Ruhe und bewegen sich zurück mit der Geschwindigkeit <math>-u</math>, dann wird diejenige die kleinere Zeit bei der gemeinsamen Wiederkehr anzeigen, welche länger mit <math>\pm u</math> unterwegs war. Gemäß Wiechert (1921/22)<ref name="wiechert21" /> kann das Rundreiseexperiment ganz ohne Eigenbeschleunigung simuliert werden, indem Hin- und Rückweg mittels zwei oder mehreren gleichförmig in unterschiedlicher Richtung bewegten Uhren dargestellt wird, die eine Stafette bilden in der die erste Uhr <math>B_{1}</math> von einem bestimmten Punkt ausgeht und die letzte Uhr <math>B_{n}</math> dort wieder zurückkommt, wobei die addierte Eigenzeit aller B-Uhren während der Stafette kleiner ist als die Eigenzeit einer am Ausgangsort verbliebenen Uhr <math>A</math>.

Mathematische Behandlung: Die Metrik der Raumzeit verursacht den Gangunterschied der Uhren

Datei:Euklid vs Minkowski-Metrik.png

Abb. 1 Abstandsmessung in euklidischer Ebene (oben) vs. raumzeitliche Abstandsmessung mit Minkowski-Metrik (unten)

In Newtons Vorstellung gibt es einen absoluten Raum mit der uns vertrauten euklidischen Abstandsmessung und einer absoluten Zeit, Raum und Zeit sind nicht miteinander verwoben. Die absolute Zeit verstreicht in Newtons Vorstellung für jeden Beobachter gleich, unabhängig von seinem Ort und seinem Bewegungszustand. Einstein hat das Newtonsche Paradigma jedoch mit seiner Relativitätstheorie verworfen, jeder Beobachter hat seine eigene „persönliche“ Zeit, die sog. Eigenzeit, die dadurch zustande kommt, dass Raum und Zeit über die Minkowski-Metrik untrennbar miteinander zu einer Einheit verknüpft sind, der sog. Raumzeit.

Hierbei ist eine Metrik eine Vorschrift, die festlegt, wie Abstände im zugrundeliegenden Raum gemessen werden. Die euklidische Metrik <math>d^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2</math> etwa bestimmt, wie räumliche Abstände <math>d</math> in der Ebene zu messen sind; diese pythagoreische Addition lernt man schon in der Schule. Die Minkowski-Metrik <math>\tau^2</math> in der 4-dimensionalen Raumzeit bestimmt, wie Raumzeitabstände <math>\tau</math> zu messen sind. In der Minkowski-Metrik stellt die Naturkonstante <math>c</math>, die Lichtgeschwindigkeit, den Umrechnungsfaktor dar, der die Zeitachse formal in eine Raumachse konvertiert. Im einfachsten Fall von zwei Dimensionen (man bewegt sich räumlich nur in einer Dimension) ist die Minkowski-Metrik <math>\tau^2</math> gegeben durch eine der pythagoreischen Addition ähnliche Vorschrift (jedoch mit einem Minuszeichen):

<math>(c\tau)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2</math> bzw. (wenn man <math>c=1</math> setzt) durch <math>\tau^2=(\Delta t)^2-(\Delta x)^2</math>.

Graphisch kann man die Raumzeit im 2-dimensionalen Fall durch ein Minkowski-Diagramm darstellen (vgl. Abb. 1, unteres Bild); dies ist letztlich ein gewöhnliches Weg-Zeit-Diagramm, in dem die Zeitachse mit dem Umrechnungsfaktor multipliziert und für raumzeitliche Abstandsmessungen die Minkowski-Metrik verwendet wird. Raumzeitpunkte im Minkowski-Diagramm nennt man Ereignisse und Kurven Weltlinien. Die „Länge“ <math>\tau</math> einer zeitartigen Weltlinie heißt Eigenzeit und gibt die Zeitspanne an, die für einen Beobachter, dessen Bewegung in der Raumzeit durch diese Weltlinie beschrieben wird, gemäß einer von ihm mitgeführten Uhr zwischen Anfangs- und Endpunkt der Weltlinie gemessen wird (vgl. Abb. 2). Zeitartig bedeutet hierbei vereinfacht ausgedrückt, dass der Beobachter sich stets mit Unterlichtgeschwindigkeit bewegt. Die Winkelhalbierenden (und Geraden parallel dazu) sind Weltlinien von Photonen (Licht).

Hervorzuheben ist, dass nicht das Diagramm selbst die Besonderheit darstellt, sondern die Art der raumzeitlichen Abstandsmessung. Folgendes gilt:

Datei:Geometrische Veranschaulichung der Eigenlänge.svg

Abb. 2 Veranschaulichung: Die „Länge“ der Weltlinie gemessen in der Minkowski-Metrik ist die Eigenzeit <math>\tau</math>

1. Eigenzeiten <math>\tau</math> für zeitartige Weltlinien, die sich aus Geradenstücken zusammensetzen, werden mit obiger Formel für jedes Geradenstück einzeln berechnet und dann aufsummiert.

2. Zwei zeitartige Weltlinien mit gleichem Anfangs- und Endpunkt haben identische Eigenzeiten, wenn ihre Zusammensetzung aus Geradenstücken übereinstimmt (vgl. Abb. 2).

Analoge Eigenschaften gelten ebenso für die Länge von Kurven in der euklidischen Ebene. Der Vorzeichenwechsel zwischen zeitlichen und räumlichen Komponenten in der Minkowski-Metrik (siehe obige Formel) allerdings – dieser kleine Unterschied gegenüber der euklidischen Abstandsmessung (vgl. Abb. 1) – impliziert folgende aufgrund unser euklidischen Denkgewohnheiten kontraintuitive Eigenschaft der Minkowski-Geometrie (also der speziellen Relativitätstheorie):

3. Von zwei zeitartigen Weltlinien mit gleichem Anfangs- und Endpunkt im Minkowski-Diagramm, hat die optisch länger wirkende („euklidische Wahrnehmung“) einen kleineren Raumzeitabstand bzgl. der Minkowski-Metrik, d. h. eine kürzere Eigenzeit (vgl. Abb. 1).

Die Minkowski-Metrik ist Stand heute die angemessene geometrische Beschreibung für unser Universum, wenn man es als global flach annimmt (bei Beschränkung auf kurze Zeitspannen und räumlich kleine Umgebungen stellt die Minkowski-Metrik oft eine hinreichend gute Näherung dar; man sagt dazu: das Universum ist lokal flach und kann lokal näherungsweise durch die Minkowski-Geometrie beschrieben werden).

Der Vorzeichenwechsel in der Minkowski-Metrik ist somit Ursache dafür, dass die Weltlinie des gereisten Zwillings bzgl. der Minkowski-Metrik (d. h. seine Eigenzeit) kürzer ist als die des daheimgebliebenen und der gereiste Zwilling somit weniger altert als der daheimgebliebene.

Beispiel zur Berechnung von Eigenzeiten und Gangunterschied der Uhren

Datei:Inverse Triangle equality.svg

Abb. 3 Raumzeitgeometrie (d. h. die Minkowski-Metrik) als Ursache des Gangunterschieds der Uhren

Im Folgenden werden die Eigenzeiten <math>\tau</math> für die Weltlinien vom auf der Erde verbleibenden Alan und dem gereisten Bob beispielhaft gemäß Abb. 3 berechnet; hierbei reise Bob mit 80 % Lichtgeschwindigkeit an einen 4 Lichtjahre entfernten Ort und kehre dann augenblicklich mit gleicher Geschwindigkeit zurück. Die Raumzeitpunkte <math>(t|x)</math> seien also <math>p=(0|0), r=(5|4), q=(10|0)</math>.

Alans Weltlinie setzt sich aus nur einem Geradenstück <math>\overline{pq}</math> zusammen. Für die Ereignisse <math>p=(0|0)</math> und <math>q=(10|0)</math> beträgt die Zeitdifferenz <math>\Delta t=10-0=10</math> und die räumliche Differenz <math>\Delta x=0-0=0</math>. Mit obiger Formel und c=1 erhält man

<math>\tau(\overrightarrow{pq})=\sqrt{(\Delta t)^2-(\Delta x)^2}=\sqrt{10^2-0^2}=10</math>

Alans Eigenzeit <math>\tau(\text{Alan})=10</math> stimmt mit der Koordinatenzeit (= was man an der Zeitachse abliest) im Minkowski-Diagramm von Abb. 3 überein. Das liegt daran, dass dieses Koordinatensystem mit Alans Inertialsystem übereinstimmt.

Gemäß Newtons absolutem Zeitbegriff dürfte man die für Bob während seiner Reise verstrichene Zeit ebenfalls an dieser Zeitachse ablesen; gemäß Einsteins Relativitätstheorie ist jedoch stattdessen Bobs Eigenzeit zu verwenden. Diese lässt sich für ein Geradenstück dennoch recht einfach mit an diesem Koordinatensystem ablesbaren Daten berechnen, nämlich indem man Zeit- und Ortsdifferenz <math>\Delta t</math> bzw. <math>\Delta x</math> aus Anfangs- und Endpunkt des Geradenstücks bildet und in die obige Formel für <math>\tau</math> einsetzt.

Bobs Weltlinie setzt sich aus zwei Geradenstücken zusammen, welche durch die Raumzeitpunkte <math>p,r</math> und <math>q</math> festgelegt sind. Für das Geradenstück <math>\overline{rq}</math> erhält man aus den Raumzeitpunkten <math>(t|x)</math> durch Differenzbildung: <math>\overrightarrow{rq}=q-r=(\Delta t|\Delta x)=(10-5|0-4)=(5|-4)</math>. Bobs Eigenzeit für das Geradenstück <math>\overline{rq}</math> lautet daher

<math>\tau(\overrightarrow{rq})=\sqrt{(\Delta t)^2-(\Delta x)^2}=\sqrt{5^2-(-4)^2}=3</math>.

Bobs Eigenzeit für das Geradenstück <math>\overline{pr}</math> ist identisch. Da sich die Eigenzeit einer aus Geradenstücken zusammengesetzten Weltlinie durch Aufsummieren ergibt, erhält man für Bobs Eigenzeit <math>\tau(\text{Bob})=3+3=6</math>. Somit gilt

<math>\tau(\text{Alan})=\tau(\overrightarrow{pq})=10>\underbrace{\tau(\overrightarrow{pr})}_{=3}+\underbrace{\tau(\overrightarrow{rq})}_{=3}=6=\tau(\text{Bob})</math>

Mit einem Altersunterschied von 4 Jahren ist Bob langsamer gealtert als sein daheim gebliebener Zwilling Alan. Man sieht: Bei Alan wird nichts abgezogen, weil er sich in der Raumzeit nicht in x-Richtung, sondern nur in t-Richtung „bewegt“. Bob hat Bewegungsanteile in x-Richtung und macht „Umwege“, darum verringert sich seine Eigenzeit.

Die hier stehende Ungleichung ist ein konkretes Beispiel für die in Minkowski-Räumen geltende inverse Dreiecksungleichung. Diese ist zunächst ein rein mathematischer Lehrsatz. Im physikalischen Zusammenhang liefert sie den Grund für den Gangunterschied der Uhren. Eine Ganggleichheit kann nur eintreten, wenn die Ereignisse p, r und q auf einer Geraden liegen.

Rolle der Beschleunigung

Datei:Inverse Triangle inequality.svg

Abb. 4 Beschleunigungs­phasen bzw. Bezugs­system­wechsel können nicht eigentliche Ursache sein für den Gangunterschied der Uhren

In Lehre und Literatur wird teils behauptet, dass die mehrfachen Beschleunigungen bzw. Bezugssystemwechsel Grund für das langsamere Altern des gereisten Zwillings seien. Das ist jedoch nicht richtig. Die Inkorrektheit dieser Behauptung kann man mithilfe des Gegenbeispiels aus Abb. 4 einsehen, in welchem das Gedankenexperiment aus Abb. 3 folgendermaßen abgewandelt wird:

Statt des geradlinigen Weges in der Raumzeit werden für Alan „Umwege“ in Form der gleichen Beschleunigungsphasen wie für Bob angenommen (nur zu anderen Zeitpunkten); alle übrigen Daten werden aus vorangehendem Beispiel übernommen. Die Beschleunigungsphasen für Alan seien gemäß Abb. 4 durch die Ereignisse <math>a_1=(4|0), a_2=(5|0{,}8), a_3=(6|0)</math> gegeben. Das heißt: 4 Jahre nach Abflug von Bob bricht auch Alan auf und entfernt sich mit 80 % Lichtgeschwindigkeit um 0,8 Lichtjahre von der Erde, kehrt dann mit gleicher Geschwindigkeit zurück und wartet anschließend auf Bob, der dieselbe Reise wie vorher unternimmt. Damit berechnet man für Alans Weltlinie „mit Umwegen“

<math>\tau(\overrightarrow{pa_1})=\tau(\overrightarrow{a_3 q})=4</math>, <math>\tau(\overrightarrow{a_1 a_2})=\tau(\overrightarrow{a_2 a_3})=\sqrt{1^2-0{,}8^2}=0{,}6 </math> <math>\Rightarrow \tau(\text{Alan mit Umwegen})=4+0{,}6+0{,}6+4=9{,}2</math>

Ein Vergleich zeigt <math>\tau(\text{Alan mit Umwegen})=9{,}2>6=\tau(\text{Bob})</math>, d. h. Bob ist mit einem Altersunterschied von 3,2 Jahren langsamer gealtert als Alan – und zwar trotz identischer Beschleunigungsphasen bzw. Bezugssystemwechsel. Dies widerlegt obige Behauptung.

Solange die „Umwege“ in Alans Weltlinie nicht zu groß werden, bleibt Bobs Eigenzeit kürzer als Alans. Die eigentliche Ursache für Bobs langsameres Altern ist also, dass er „größere Umwege“ in der Raumzeit als Alan nimmt, um vom Raumzeitpunkt p zum Raumzeitpunkt q zu gelangen. Beschleunigungen spielen zwar insofern auch eine sekundäre Rolle, als dass „Umwege“ natürlich nur möglich sind, wenn längs der Weltlinie Beschleunigungen stattfinden (bzw. insofern als dass ohne sie keine Rückkehr möglich wäre); aber sie sind nicht der eigentliche Grund, denn Alan und Bob haben in dem konstruierten Gedankenexperiment (Abb. 4) genau die gleichen Beschleunigungsphasen.

Siehe auch

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• Garagenparadoxon
• Bellsches Raumschiffparadoxon

Literatur

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Einzelnachweise

<references> <ref name="einstein1"> Siehe S. 904f in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="einstein2"> Siehe S. 10. in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="einstein3"> In einer Diskussion führte Einstein aus, dass jedweder Einfluss der Beschleunigung vernachlässigbar gemacht werden kann während der Rundreise, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="langevin1"> Ohne Benutzung von Formeln beschreibt er den Zeitunterschied als eine Konsequenz der Anwendung des Eigenzeitintegrals, interpretierte dies als weiteren Beleg für die absolute Natur der Beschleunigung, und veranschaulichte die Asymmetrie der Beobachtungen mittels Lichtsignalen, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="weyl"> Herleitung aus dem Eigenzeitintegral und Verweis auf Zwillingsbrüder auf S. 147f. in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="wiechert1"> Siehe S. 745f. und 757f. in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="wiechert21"> Siehe S. 25ff in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="laue1"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}; Englisch Two Objections Against the Theory of Relativity and their Refutation auf Wikisource </ref> <ref name="laue2"> Siehe S 42f., 58f. {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}; </ref> <ref name="einstein18"> Nach Einstein liegt kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip vor, da dieses nur die Gleichberechtigung von Inertialsystemen (“Galileischen unbeschleunigten Koordinatensystemen”) fordert, jedoch der Reisende ist nicht in einem solchen. Danach schilderte er das beschleunigte Bezugssystem des Reisenden mittels Äquivalenzprinzip und (Pseudo-)Gravitationsfeldern, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="lorentz"> Siehe S. 31f, 47f in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="thirring"> Schilderte die Desynchronisation der Uhren während der Umkehr, zeigte, dass die Beschleunigung letzten Endes die Ursache der Asymmetrie ist, und zeigte danach die Analogie mit Gravitationsfeldern im Bezugssystem des Reisenden auf, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="miller"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="gruner"> Nach Gruner erfordert das Relativitätsprinzip völlige Gleichberechtigung der Bewegungen beim Rundreiseexperiment, sodass aufgrund der Zeitdilatation jeder dem anderen bei der Wiederkehr unterstellen muss, in seiner Entwicklung weniger fortgeschritten zu sein als man selbst, was einen unauflösbaren und undenkbaren Widerspruch („contradiction irréductible et inconcevable“) darstellt. Siehe S. 253f in {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="sommerfeld"> Auf S. 71 leitete er den Zeitunterschied mittels Eigenzeitingegral her und zeigte, dass kein Widerspruch zum Relativitätsprinzip vorliegt da einer der beiden beschleunigt war; siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="mosz"> Interviews von Einstein durch Moszkowski, wobei das Zwillingsparadoxon auf S. 204f. behandelt wird: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="laue3"> Siehe S. 114–115 (Uhrenparadoxon für "ehemalige Altersgenossen"), Fußnote auf S. 115 (Vernachlässigbarkeit der Beschleunigung) in {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}; Englisch The Principle of Relativity auf Wikisource </ref> <ref name="kopff"> Auf S. 45ff schilderte er das Rundreiseexperiment mittels Eigenzeitintegral und zeigte, dass kein Paradox vorliegt da nur einer beschleunigte, auf S. 117ff beschrieb er die Sicht des Reisenden im beschleunigten Bezugssystem mittels Äquivalenzprinzip und (Pseudo-)Gravitationsfeldern, und auf S. 189ff interpretierte er es im Sinne des Machschen Prinzips, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="pauli"> Auf S. 558f zeigte er dass kein Paradox vorliegt da nur einer beschleunigte, auf S. 624f schilderte er das Rundreiseexperiment mittels Eigenzeitintegral und Minkowski-Diagramm, auf S. 713f beschrieb er die Sicht des Reisenden im beschleunigten Bezugssystem mittels Äquivalenzprinzip und (Pseudo-)Gravitationsfeldern, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="born"> Auf S. 190f. schilderte er das Rundreiseexperiment mittels Minkowski-Diagramm und zeigte, dass kein Paradox vorliegt, da nur einer beschleunigte, und auf S. 250f beschrieb er die Sicht des Reisenden im beschleunigten Bezugssystem mittels Äquivalenzprinzip und (Pseudo-)Gravitationsfeldern, siehe: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="robb1"> Siehe S. 356ff. in: {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="robb2"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> </references>