Zweiseitige Laplace-Transformation

In der Mathematik bezeichnet man mit der zweiseitigen Laplace-Transformation eine Integraltransformation, die nahe verwandt mit der gewöhnlichen, zur Unterscheidung manchmal auch einseitig genannten, Laplace-Transformation ist.

Definition

Für eine reell- oder komplexwertige Funktion <math>f(t)</math> einer reellen Variable <math>t</math> ist die zweiseitige Laplace-Transformation für alle komplexen Zahlen <math>s</math> durch das Integral

<math>\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) =

\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-st} f(t) \mathrm{d}t</math> definiert.

Der Unterschied zur gewöhnlichen Laplace-Transformation ist die Integration von <math> - \infty </math> bis <math> \infty </math> statt über <math> (0,\infty) </math>.

In der Systemtheorie spielt die zweiseitige Laplace-Transformation, im Gegensatz zur gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation, nur eine untergeordnete Rolle. Der Grund liegt darin, dass sich in der Physik und Technik ausschließlich auftretende kausale Systeme mit der einseitigen Laplace-Transformation beschreiben lassen. Bei der theoretischen Analyse von nichtkausalen Systemen, dies sind Systeme, die eine Wirkung vor der auslösenden Ursache zeigen, ist die zweiseitige Laplace-Transformation zu verwenden, welche, in Abhängigkeit von der Funktion <math>f(t)</math>, für <math>t \to -\infty</math> schlechtes Konvergenzverhalten aufweist. Für kausale Systeme ist das Ergebnis der zweiseitigen Laplace-Transformation identisch zu der gewöhnlichen einseitigen Laplace-Transformation. Die zweiseitige Laplace-Transformation tritt außerdem in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei momenterzeugenden Funktionen auf.

Zusammenhang

Mit der Heaviside-Funktion <math>\epsilon(t)</math> lässt sich die zweiseitige mit der einseitigen Laplace-Transformation <math>\mathcal{L}\left\{ \cdot \right\}</math> in folgenden Zusammenhang setzen:

<math>\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} = \mathcal{B}\left\{f(t) \epsilon(t)\right\}</math>

Dazu gleichwertig besteht zwischen den beiden Transformationen folgender Zusammenhang:

<math>\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{L} f(t)\right\}(s) + \left\{\mathcal{L} f(-t)\right\}(-s)</math>

Mit der Mellin-Transformation <math>\mathcal{M}\left\{ \cdot \right\}</math> besteht folgender Zusammenhang:

<math>\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-t})\right\}(s)</math>

und der inversen Beziehung:

<math> \left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln t) \right\}(s)</math>

Literatur

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