Zwangskraft

Als Zwangskraft bezeichnet man in der technischen und theoretischen Mechanik diejenige Kraft, die bewirkt, dass ein Körper sich aus einem durch vorgegebene Zwangsbedingungen vorgeschriebenen Bereich nicht herausbewegen kann.

Eine äußere Kraft, die keine Zwangskraft ist, bezeichnet man zu Unterscheidungszwecken auch als eingeprägte Kraft. Die gesamte auf den Körper wirkende Kraft ist die Summe aus eingeprägter Kraft und Zwangskraft. Das Unterscheidungsmerkmal ist, dass eine eingeprägte Kraft nach Größe und Richtung physikalisch vorgegeben ist (etwa die Gewichtskraft, der Winddruck, Coulombsche Gleitreibungskräfte), während die Zwangskraft nach Größe und Richtung je nach konkretem Ablauf der Bewegung so entsteht, wie es erforderlich ist, dass der Körper die vorgegebene Einschränkung seiner Bewegungsfreiheit befolgt (etwa durch starre Führung).<ref>Jörg Schröder: Statik. Springer, 2004, ISBN 3-540-22166-2, S. 8–9.</ref><ref name="CzichosHennecke2004">Horst Czichos, Manfred Hennecke: Hütte: das Ingenieurwissen. Springer, 2004, ISBN 3-540-20325-7, S. E17.</ref>

Zwangskräfte haben mit den durch Zwängung verursachten Kräften gemein, dass äußere Bewegungseinschränkungen für die Entstehung verantwortlich sind und dass sie der Größe nach variieren (im ersten Fall abhängig von der Bewegung des betrachteten Körpers, im zweiten Fall abhängig von den Umgebungsbedingungen). Gegenüber den Zwangskräften ist die Zwängung jedoch ein Begriff der Statik. Relevant sind dort die durch die Zwängung verursachten inneren Spannungen der Bauteile mit Blick auf ihre Festigkeit.

Mathematische Fassung

Datei:Zwangskraft Oberfläche (zweidim.).png

Geometrische Veranschaulichung einer Zwangskraft

Zu einer im dreidimensionalen Raum gegebenen Kurve <math>f(r, \phi, t )\,=\, 0</math> bzw. <math>f(x, y, z, t)\, =\,0 </math>, auf der sich zu einem Zeitpunkt <math> t \in \R</math> der Massenpunkt <math> m</math> bewege, darf eine Zwangskraft <math>\vec{F}</math> keine tangentiale Komponente haben, sie muss, geometrisch betrachtet, senkrecht auf <math>f(x, y, z)</math> stehen, damit <math> m</math> sich auf der Kurve „frei“ (gleichförmig) bewegen kann bzw. darauf ruht:

<math>\vec{F}~ =~\lambda \,\cdot\, \operatorname{grad} f,</math>

wobei <math>\lambda \in \R</math> einen vorläufig unbekannten („Lagrangeschen“) Parameter bezeichnet.<ref>Ágoston Budó, Theoretische Mechanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976, S. 55 (archive.org).</ref>

Äquivalent zu dieser Definition kann die Gesamtheit aller Zwangskräfte <math>\vec{F}^{Z}_{i}</math> an miteinander gekoppelte Massensystem <math>m_i</math> keine virtuelle Arbeit verrichten:

<math>\sum_{i}\vec{F}_{i}^{Z}\,\cdot\,\delta x_{i} = 0</math>.<ref>Wolfgang Nolting, Analytische Mechanik. Grundkurs Theoretische Physik Band 2. (Springer) Berlin, Heidelberg, New York ⁷2006: S. 13 (1.2: D'Alembertsches Prinzip). Dort wird diese Erklärung als erstes Beispiel für den Satz der virtuellen Arbeit gebraucht, wohingegen die Definition 1.1.1 auf Seite 3 allgemein für jedes gebundene Massensystem aussagt: „Zwangskräfte sind Kräfte, die die Zwangsbedingungen bewirken, also die freie Teilchenbewegung behindern (z. B. Auflagekräfte, Fadenspannungen).“</ref>

Die mathematische Darstellung stammt aus der Statik nach Lagrange.<ref>J.- L. Lagrange, Mécanique Analytique. (Mallet-Bachelier) Paris ³1853: Statique, Section Première (Kap. IV §1 Méthode des Multiplicateurs), S. 69 f. Online verfügbar: archive.org</ref><ref>Historisch siehe auch G. Hamel, Theoretische Mechanik. Zweite Auflage. (Springer) Berlin, Heidelberg, New York 1967: Seite 66.</ref> Ihr liegt das statische Prinzip zugrunde, dass die Summe aller an <math>m</math> eingeprägten Kräfte <math>\vec{F}^{e}_i</math> mit der Systemreaktion ein Kräftegleichgewicht bilden muss:

<math> \sum_i \vec{F}^{e}_i \, + \, \vec{F}\, = \, 0</math>.

Beim Freischneiden des Elements <math>m</math> aus seiner statischen Lage wird die Systemreaktion erst ersichtlich. Aus dem Grunde wird die Zwangskraft <math>\vec{F}</math>, vor allem in älterer Literatur, auch Reaktionskraft genannt.<ref>Siehe etwa G. Hamel, Theoretische Mechanik. (Springer) Berlin, Heidelberg, New York ²(1967): Seite 66.</ref><ref>I. Szabó, Einführung in die Technische Mechanik. 5. Auflage (Springer) Berlin, Heidelberg 1961: S. 397.</ref>

Beispiele

Datei:Tense moment Build Brighton Hackspace Launch Party October 2011 Zwangskraft.png

Die von der Schiene auf einen Autorennwagen ausgeübte Zwangskraft (Zentripetalkraft) hält ihn in der Spur. Sie steht rechtwinklig zur Bewegungsrichtung.

Auf einen Klotz, der auf einer ebenen Fläche steht, wirkt die Schwerkraft als eingeprägte Kraft. Da der Klotz offensichtlich ruht und sich nicht in Richtung des Erdmittelpunktes bewegt, übt die Fläche auf ihn eine Zwangskraft aus, die der Schwerkraft entgegengesetzt ist und diese genau ausgleicht. (Wie diese Kraft physikalisch zustande kommt, ist für die Betrachtung im Rahmen der klassischen Mechanik unerheblich; hier genügt die Nebenbedingung, dass der Klotz nicht in die Fläche eintaucht.)
Der Schlitten einer Achterbahn wird durch Zwangskräfte, die von den Schienen ausgeübt werden, auf seiner Bahn gehalten.
Auf einen Pendelkörper, der an einem Faden hängt, wirkt eine Zwangskraft entlang des Fadens.

Allgemeine Eigenschaften

Kann sich ein Körper nur auf einer Kurve oder einer Fläche (frei) bewegen, so steht die Zwangskraft immer senkrecht auf dieser und damit auch auf der Bewegungsrichtung. Daraus folgt u. a., dass Zwangskräfte keine Arbeit verrichten können.

Das d’Alembertsche Prinzip zur Aufstellung von Bewegungsgleichungen beruht auf dem Satz, dass die virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet;<ref>Ágoston Budó, Theoretische Mechanik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976, S. 66.</ref> beim Jourdainschen Prinzip wird ausgenutzt, dass die virtuelle Leistung der Zwangskräfte verschwindet.

Literatur

{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}

Einzelnachweise