Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die beiden Zustandsgleichungen nach Murnaghan und nach Birch (benannt nach Francis Murnaghan und Albert Francis Birch) beschreiben die Beziehung zwischen dem Volumen <math>V</math> eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck <math>p</math>.

Zustandsgleichung nach Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Murnaghan lautet:

<math>p = \frac{K_0}{K_0'} \left[ \left( \frac{V_0}{V} \right) ^{K_0'} - 1 \right]</math>

<math>\Leftrightarrow V = V_0 \cdot \left[ \frac{K_0'}{K_0} p + 1 \right]^{-\frac 1 {K_0'}}</math>

mit

dem Volumen <math>V_0</math> des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa
dem Kompressionsmodul <math>K_0</math> bei einem Druck von 0 GPa:

<math>K_0 = -V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right|_{p = 0 \, \mathrm{GPa}}</math>

der ersten Ableitung <math>K_0'</math> des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa:

<math>K_0' = \left.\frac{\partial K}{\partial p}\right|_{p = 0 \, \mathrm{GPa}}</math>.

Man erhält diese Zustandsgleichung, wenn man Murnaghans folgende Annahmen integriert:

der Kompressionsmodul eines Festkörpers nimmt linear zu mit dem auf ihn wirkenden Druck:

die Größe <math>K_0'</math> hängt nicht vom Druck ab.

Zustandsgleichung nach Birch(-Murnaghan)

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck <math>p</math> und der freien Energie <math>F</math> besteht:

<math>p = \left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_T</math>

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

<math>F = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \epsilon^n</math>

Hier sind

<math>a_n</math> druckabhängige Koeffizienten
<math>\epsilon</math> die Eulersche Dehnung,

<math>\epsilon = \frac{1}{2} \left[ 1 - \left( \frac V {V_0} \right)^{-\frac 2 3} \right]</math>.

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man die Zustandsgleichung nach Birch:

<math>p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 1\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]</math>

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)