Zurückschneiden durch Rangbetrachtung

Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung)<ref>Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets, auch bekannt als Scott's trick.</ref> ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski<ref>Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442–443</ref> und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studium einer Klasse auf das Studium ihrer Teilmengen beschränken kann.<ref>Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 2.6, 2.8</ref>

Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse <math>K \subseteq \textrm{V}=\{\, x \;|\; \exist_y\,x \in y \,\}</math> die Teilklasse <math>K_{\text{min}} \equiv \tau(K) := \{\, x \in K \;|\; \forall_{y \in K} \rho(x) \le \rho(y) \,\}</math>, wenn <math>\rho:\textrm{V} \rightarrow \textrm{On}</math> die Rangfunktion ist.<ref name="Levy">Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7</ref> Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch ein spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.<ref>Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1</ref> Mit

ist <math>\tau(K)</math> eine Menge, deren Rang höchstens <math>\xi+1</math> beträgt.

Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:<ref name="Levy" />

Für jede Relation <math>R</math> existiert eine vorgängerkleine Teilrelation <math>S</math> mit demselben Definitionsbereich.
Für jede Relation <math>R</math> existiert eine Teilrelation <math>S</math> mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
Wenn jede nicht leere Menge ein <math>\prec</math>-kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein <math>\prec</math>-kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel <math>\Phi</math> gilt:

<math>(\forall_x\,(\forall_{y\prec x}\, \Phi(y) \Rightarrow \Phi(x) )) \Rightarrow \forall_z\,\Phi(z)</math> (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).

Für jede Menge <math>A</math> und endlich viele Relationen <math>R_1,...,R_k</math> existiert eine für jedes <math>i \in \{1,...,k\}</math> fast <math>R_i</math>-abgeschlossene Menge <math>B \supseteq A</math>.
Für jede Äquivalenzrelation <math>\approx</math> existiert eine Funktion <math>F</math>, die

<math>\forall_x\, \forall_y\, (F(x)=F(y) \Leftrightarrow x \approx y)</math>

erfüllt.

Einzelnachweise