Zonotop

Ein Zonotop bezeichnet in der Geometrie die Minkowski-Summe von Strecken (der Generatoren des Zonotops). Es ist also <math>Z := [-1, 1]v_1 + \cdots + [-1, 1]v_k</math> ein Zonotop im d-dimensionalen Raum, falls <math>v_1, \ldots, v_k</math> Vektoren mit d Einträgen sind.

Eigenschaften

Ein Zonotop ist immer ein konvexes Polytop, und nach der hier gewählten Definition ist der Ursprung das Zentrum des Zonotops. Jedes Zonotop ist punktsymmetrisch zu seinem Zentrum. Jede Facette eines Zonotops ist wiederum ein Zonotop. Das obige Zonotop ist eine Projektion des k-dimensionalen Einheitswürfels in den d-dimensionalen Raum, also in Matrixnotation <math>Z := PQ</math>, wobei <math>P := \begin{pmatrix}v_1 & \cdots & v_k\end{pmatrix}</math> die Matrix mit den Generatoren als Spalten eine Projektion und <math>Q := \begin{pmatrix}[-1,1]\\ \vdots \\ {}[-1, 1] \end{pmatrix}</math> den Einheitswürfel darstellt.

Zonoeder

Ein Zonotop im 3-dimensionalen Raum wird als Zonoeder bezeichnet. Dabei wird meist vorausgesetzt, dass sich das Zonoeder nicht auf eine Ebene beschränkt, die Generatoren also nicht koplanar sind.

Konstruktion eines Zonoeders

Ecken, Kanten und Facetten eines Zonoeders können aus den Generatoren konstruiert und dann zum Beispiel graphisch dargestellt werden. Dabei ist die rekursive Konstruktion besonders anschaulich: Zu einem bereits konstruierten Zonoeder wird eine neue Strecke hinzuaddiert. Zum Beispiel soll zum bereits konstruierten 3-dimensionalen Einheitswürfel <math>Q</math> das Segment <math>[-1, 1]v</math> mit <math>v := (1, 1, 1)^\mathsf{T}</math> hinzuaddiert werden. Dazu wird der Würfel entlang der Kanten aufgeschnitten, die das Segment berühren. Danach werden die Hälften jeweils um den Vektor <math>v</math> und <math>-v</math> verschoben und die entstandene Lücke durch die neue „Zone“ geschlossen.

Würfel aufschneiden

Würfel aufschneiden
Hälften heben

Hälften heben
Lücke füllen

Lücke füllen

Beispiel

Das Zonoeder mit den Generatoren <math> \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} </math> stellt den Oktaederstumpf Datei:Uniform polyhedron-33-t012.png dar.

Literatur

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Weblinks

The Geometry Junkyard: Zonohedra and Zonotopes auf ics.uci.edu
Online Zonotope Builder and Viewer auf decatur.de

en:Zonohedron