Zentrierte Dreieckszahl
Eine zentrierte Dreieckszahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel
- <math>\frac{3n^2 - 3n + 2}{2}</math>
aus einer natürlichen Zahl <math>n</math> berechnen lässt. Die ersten zentrierten Dreieckszahlen sind
Die zentrierten Dreieckszahlen gehören wie die zentrierten Quadratzahlen sowie die zentrierten Fünf- und Sechseckszahlen zu den zentrierten Polygonalzahlen, also zu den ebenen figurierten Zahlen.
Die zentrierten Dreieckszahlen beziffern nämlich die Anzahl von Steinchen, um ein Dreieck nach folgender Vorschrift zu legen: Es befindet sich ein Steinchen im Zentrum und um dieses werden in dreiecksförmigen Schichten mit steigender Seitenlänge weitere Steinchen angeordnet. Die Anzahl der Steinchen in einer solchen Anordnung mit <math>n</math> Schichten wird als <math>(n+1)</math>-te zentrierte Dreieckszahl bezeichnet.
Für <math> n\geq 3 </math> lässt sich jede zentrierte Dreieckszahl als die Summe dreier aufeinanderfolgender normaler Dreieckszahlen <math>\Delta_{n-2} + \Delta_{n-1} + \Delta_n</math> darstellen. Des Weiteren gilt, dass eine Ganzzahldivision einer beliebigen zentrierten Dreieckszahl <math> ZD_n </math> durch 3 immer den Rest 1 ergibt und als Quotient die vorhergehende Dreieckszahl <math> \Delta_{n-1} </math>.
Die Summe der ersten n zentrierten Dreieckszahlen (n ≥ 3) ergibt die magische Konstante (Zeilensumme) eines magischen Quadrates der Zahlen 1 bis n².
Unendliche Summen und Produkte
Die unendliche Summe der Kehrwerte der zentrierten Dreieckszahlen ergibt diesen Wert:
- <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ZD_{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3n^2 - 3n + 2} = \frac{2}{\sqrt{15}}\pi\tanh\bigl(\frac{1}{6}\sqrt{15}\pi\bigr)</math>
Das unendliche Produkt von den Quotienten der verdoppelten zentrierten Dreieckszahlen dividiert durch die zentrierten Sechseckszahlen an denselben Positionen ergibt jenen Wert:
- <math>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{2ZD_{n}}{ZS_{n}} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 - 3n + 2}{3n^2 - 3n + 1} = \operatorname{sech}\bigl(\frac{1}{6}\sqrt{3}\pi\bigr)\cosh\bigl(\frac{1}{6}\sqrt{15}\pi\bigr)</math>
Zentrierte Dreiecksprimzahlen
Eine zentrierte Dreieckszahl, die eine Primzahl ist, wird als zentrierte Dreiecksprimzahl bezeichnet. Die ersten zentrierten Dreiecksprimzahlen lauten:
Siehe auch
Literatur
- Lancelot Hogben: Mathematik für alle. Eine Einführung in die Wissenschaft der Zahlen und Figuren. Neu überarbeitete Ausgabe. Pawlak, Herrsching 1985, ISBN 3-88199-208-1, S. 151 ff.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: centered triangular number. In: MathWorld (englisch).