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Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Zeitdauer-Bandbreite-Produkt)

Die küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation (nach Karl Küpfmüller, der sie 1924 formulierte) oder Unschärferelation der Nachrichtentechnik ist die Aussage der Signaltheorie (Nachrichtentechnik), dass die Zeitdauer oder Einschwingdauer und die Bandbreite eines Signals nicht gleichzeitig beliebig klein werden können.<ref>{{#if:2007-07-12|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:|: }}{{#if:https://web.archive.org/web/20070712230837/http://www.et2.tu-harburg.de/lehre/Nachrichtenuebertragung/vorlesungI/NUE1_kapitel4_2_2sl.pdf%7C{{#if:Digitale Übertragung im Basisband|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://web.archive.org/web/20070712230837/http://www.et2.tu-harburg.de/lehre/Nachrichtenuebertragung/vorlesungI/NUE1_kapitel4_2_2sl.pdf}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Digitale Übertragung im Basisband}}]{{#if:PDF; 652 kB| (PDF; 652 kB)}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://www.et2.tu-harburg.de/lehre/Nachrichtenuebertragung/vorlesungI/NUE1_kapitel4_2_2sl.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Digitale Übertragung im Basisband}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://www.et2.tu-harburg.de/lehre/Nachrichtenuebertragung/vorlesungI/NUE1_kapitel4_2_2sl.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Digitale Übertragung im Basisband}}}}]}}{{#if:PDF; 652 kB| (PDF; 652 kB{{#if:Technische Universität Hamburg-Harburg2007https://web.archive.org/web/20070712230837/http://www.et2.tu-harburg.de/lehre/Nachrichtenuebertragung/vorlesungI/NUE1_kapitel4_2_2sl.pdf{{#if: 2007-07-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

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Für die Zeitdauer Δt und die Bandbreite Δf eines Signals gilt stets:

<math> \Delta t \cdot \Delta f \ge k</math>

wobei k je nach Definition von Bandbreite und Zeitdauer den Wert 1 oder 0,5 annimmt.

Auf der Unbestimmtheitsrelation bezüglich Zeitdauer und Bandbreite basieren zum Beispiel bekannte Grundregeln der Messtechnik:

  • Um ein Signal von 100 ns Dauer zu messen, benötigt man ein Oszilloskop mit mehr als 10 MHz Bandbreite.
  • Um eine Frequenz von 1 Hz zu bestimmen, muss das Signal mindestens 1 s lang gemessen werden.

Zeit-Bandbreite-Produkt

Da die Definition einer bestimmten Bandbreite verschiedenen Festlegungen folgt, und auch die Zeitdauer von Signalen nicht eindeutig ist, gibt es mehrere unterschiedliche Festlegungen von Zeit-Bandbreiten-Produkten. Beispielsweise wird bei zeitlich nicht begrenzten Signalen das Produkt über flächengleiche Rechtecke um den Maximalwert des Signals im Ursprung ausgedrückt:

<math>\Delta t = \left. \frac{X(\mathrm{j}\omega)}{x(t)} \right\vert_{\omega=0,t=0}</math>

mit <math>X(\mathrm{j}\omega) = \mathcal{F}\left\{ {x\left( {t} \right)} \right\}</math>, der Fouriertransformierten von <math>x(t)</math>. Die Bandbreite <math>\Delta f</math> wird dazu analog festgelegt zu:

<math>\Delta f = 2\pi \left. \frac{x(t)}{X(\mathrm{j}\omega)} \right\vert_{\omega=0,t=0}</math>

Das Zeit-Bandbreite-Produkt ist bei dieser Festlegung der Zeitdauer und Bandbreite konstant mit dem Wert:

<math> \Delta t \cdot \Delta f = 2 \pi</math>

Literatur

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  • Rüdiger Hoffmann: Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker, 2. Auflage, Expert Verlag, Renningen 2005, ISBN 3-8169-2447-6.

Einzelnachweise

<references />

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