Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel (nach Michel Plancherel, der ihn 1910 bewies) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Er besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum <math>L^2</math> der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche <math>L^2</math>-Norm haben.

Aussage

Es existiert eine Isometrie <math>\Psi \colon L^2(\R^n) \to L^2(\R^n)</math>, die unitär und eindeutig bestimmt ist durch

<math>\Psi(f) = \mathcal{F}(f)</math>

für alle <math>f \in \mathcal{S}</math>, wobei

Die Gleichheit <math>\Psi(f) = \mathcal{F}(f)</math> gilt nicht nur für <math>f \in \mathcal{S}</math>, sondern auch für <math>f \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n)</math>, da <math>\mathcal{S}</math> sowohl in <math>L^1(\R^n)</math> als auch in <math>L^2(\R^n)</math> dicht liegt. Da <math>\Psi</math> auf <math>L^2(\R^n)</math> und die Fourier-Transformation <math>\mathcal{F}</math> auf <math>L^1(\R^n)</math> definiert ist, kann man <math>\Psi</math> als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf <math>L^2(\R^n)</math> verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem (sondern zumindest für Hilberträume sog. „Frames“) zugrunde liegt.

Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0-07-054236-8