XY-Modell
Das XY-Modell ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells der statistischen Mechanik, mit dem der Magnetismus und andere physikalischen Erscheinungen beschrieben werden können. Das XY-Modell ist der Spezialfall <math>n=2</math> des allgemeineren n-Vektor-Modells (die anderen Spezialfälle dieses Modells sind das Ising-Modell mit <math>n=1</math> und das Heisenberg-Modell mit <math>n=3</math>).
Es wurde schon 1950 von Yōichirō Nambu<ref>Daniel Mattis, The many-body problem, World Scientific 1993, S. 683</ref> in Zusammenhang mit dem zweidimensionalen Ising-Modell betrachtet. Elliott Lieb, Daniel Mattis und T. Schultz gaben 1961 eine exakte Lösung des XY-Modell von Spin 1/2-Teilchen in einer Dimension.<ref>Lieb, Schultz, Mattis, Annals of Physics, Band 16, 1961, S. 407</ref> Dabei verwendeten sie die Jordan-Wigner-Transformation.
Das XY-Modell besteht aus <math>N</math> Spins <math>\vec{s_i}</math>, die durch Einheitsvektoren dargestellt werden. Sie sind auf den Punkten eines Gitters beliebiger Dimension angeordnet, können aber nur in einer Ebene ausgerichtet sein; daher die Bezeichnung XY und der Spezialfall <math>n=2</math>.
Der Hamiltonian für das XY-Modell ist gegeben durch:
- <math>H = -J \sum _{\langle i,j\rangle} \vec s_i \cdot \vec s_j - \vec{H} \sum_{i=1}^N \vec s_i</math>
wobei
- über die nächsten Nachbarspins summiert wird
- „<math>\cdot</math>“ das Standardskalarprodukt für den zweidimensionalen euklidischen Raum und
- <math>J</math> die Kopplungskonstante
- <math>\vec{H}</math> ein externes Magnetfeld ist.
Der Ordnungsparameter des XY-Modells ist die Magnetisierung <math>\vec M = (M_x, M_y)</math> und somit ein Vektor in der XY-Ebene. Ein Phasenübergang kann für zwei- und höherdimensionale Gitter auftreten. In zwei Dimensionen ist dies kein normaler kontinuierlicher Phasenübergang oder Phasenübergang erster Ordnung, sondern der durch keinen herkömmlichen lokalen Ordnungsparameter beschreibbare Kosterlitz-Thouless-Übergang. Dieser ist der Hauptgrund, warum das XY-Modell für die theoretische Physik interessant ist.
Siehe auch
Weblinks
Einzelnachweise
<references />