Wittscher Blockplan

Als Wittsche Blockpläne<ref name="BP">Beutelspacher (1982)</ref> (auch Witt-Designs, engl. Witt designs<ref name="BJL">Beth, Jungnickel, Lenz (1999)</ref>) werden in der endlichen Geometrie bestimmte Blockpläne bezeichnet, die 1931 von Robert Daniel Carmichael entdeckt<ref>Carmichael (1931)</ref> und 1938 von Ernst Witt, nach dem sie auch benannt sind, erneut beschrieben wurden<ref>Witt (1938)</ref>. Es handelt sich dabei zunächst um zwei 5-Blockpläne, die als kleiner bzw. großer Wittscher Blockplan bezeichnet werden. Beide sind bis auf Isomorphie die einzigen einfachen 5-Blockpläne mit der Punktanzahl 12 (kleiner) bzw. 24 (großer Wittscher Blockplan). Der kleine Wittsche Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}</math> ist ein <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan, als Steinersystem ein <math>S(5,6;12)</math>; der große <math>\mathrm{W}_{24}</math> ist ein <math>5-(24,8,1)</math>-Blockplan, als Steinersystem ein <math>S(5,8;24)</math>.

Die Bedeutung des kleinen und großen Wittschen Blockplans liegt – für die Diskrete Mathematik – darin, dass sie jahrzehntelang die einzigen bekannten, nichttrivialen 5-Blockpläne waren und dadurch sehr ausführlich untersucht sind. In der Gruppentheorie, genauer für die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, sind die beiden 5-Blockpläne und ihre Ableitungen <math>\mathrm{W}_{11},\mathrm{W}_{23},\mathrm{W}_{22}</math>, die häufig auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, von großer Bedeutung, da die Mathieu-Gruppen (benannt nach Émile Léonard Mathieu, das sind 5 der sporadischen einfachen Gruppen, <math>\mathbb{M}_{12},\mathbb{M}_{11},\mathbb{M}_{24},\mathbb{M}_{23},\mathbb{M}_{22}</math>) ihre Automorphismengruppen sind.

Konstruktion

Kleiner Wittscher Blockplan

Geometrische Konstruktion

Datei:AG(2,3).png

Die affine Ebene<math>A=AG_1(2,3)</math>.

Der <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}=(\mathfrak{q},\mathfrak{B},\in)</math> kann als dreifache Erweiterung der affinen Ebene der Ordnung 3, <math>A=AG_1(2,3)=(\mathfrak{p},\mathfrak{G},\in)</math> (siehe die Abbildung rechts) konstruiert werden. Man macht sich dabei einige Besonderheiten dieser Ebene zunutze:

Jedes Viereck <math>v</math> in <math>A</math> ist ein Fano-Parallelogramm, das heißt, sind <math>p_1,p_2,p_3,p_4</math> die vier Ecken eines Vierecks, dann sind zwei Paare von Gegenseiten unter den sechs Seiten <math>G_{ij}=p_ip_j;\;(1\leq i < j \leq 4)</math> parallel zueinander und das dritte Paar von Gegenseiten schneidet sich im dadurch eindeutig bestimmten Diagonalpunkt <math>d(v)</math>, der kein Eckpunkt ist. (Als <math>n</math>-Eck wird eine Menge von <math>n</math> Punkten von <math>A</math> dann bezeichnet, wenn keine 3 der Punkte kollinear sind.)
Die Menge der 54 Vierecke in <math>A</math> kann so in drei Klassen <math>V_1,V_2,V_3</math> von je 18 Vierecken zerlegt werden, dass jede dieser Äquivalenzklassen <math>V_j</math> die folgenden Eigenschaften hat:<ref name="BP" />

Jeder Punkt von <math>A</math> ist in genau 8 Vierecken aus <math>V_j</math> enthalten,
je zwei verschiedene Punkte von <math>A</math> liegen in genau 3 Vierecken aus <math>V_j</math>,
jedes Dreieck von <math>A</math> ist in genau einem Viereck aus <math>V_j</math> enthalten.

Nun werden der Punktmenge drei zusätzliche Punkte <math>q_1,q_2,q_3\not\in\mathfrak{p}</math> hinzugefügt <math>\left(\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\cup\{ q_1,q_2,q_3 \}\right)</math> und folgende Typen von Blöcken für die neue Blockmenge <math>\mathfrak{B}</math> definiert:

Für jede Gerade G von A seien <math>G^*=G\cup \{q_1,q_2,q_3\}</math>
und <math>G^c=\mathfrak{p}\setminus G</math> (dies sind die Punkte eines Parallelenpaars von A) Blöcke von <math>\mathrm{W}_{12}</math>.
Für jedes Viereck v von A mit <math>v\in V_j</math> seien <math>v^*=(v\cup \{q_1,q_2,q_3\})\setminus \{ q_j\}</math>
und <math>v^+=v\cup \{ d(v),q_j\}</math> Blöcke von <math>\mathrm{W}_{12}</math>.

Dies ergibt für <math>\mathrm{W}_{12}</math> insgesamt 132 Blöcke mit je 6 Punkten: 12 für die erweiterten Geraden (1. Typ), 12 für die Komplemente der Geraden, das sind die Parallelenpaare von A (2. Typ) und je 54 für die erweiterten Vierecke (3. Typ) und die erweiterten Paare von schneidenden Geraden (4. Typ).

Die so definierte Inzidenzstruktur <math>\mathrm{W}_{12}=(\mathfrak{q},\mathfrak{B},\in)</math> ist ein <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan.<ref>Beutelspacher (1982), Hauptsatz 2.4.6</ref>

Großer Wittscher Blockplan

Der große Wittsche Blockplan <math>\mathrm{W}_{24}</math> lässt sich als dreifache Erweiterung der projektiven Ebene <math>PG_1(2,4)</math> der Ordnung 4 konstruieren.<ref>Eine Skizze dieser Konstruktion, die auf Witt(1938) zurückgeht, findet sich in Beth, Jungnickel, Lenz (1999), IV.6.4: Construction</ref>

Eigenschaften

Witt-Blockpläne

Jeder <math>5-(12,6,1)</math>-Blockplan ist zu dem oben konstruierten Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}</math> isomorph und jeder Automorphismus <math>\alpha</math> von <math>\mathrm{W}_{9}=AG_1(2,3)</math> hat eine eindeutige Fortsetzung zu einem Automorphismus <math>\overline{\alpha}</math> von <math>\mathrm{W}_{12}</math>. Diese Fortsetzung ist dadurch bestimmt, dass <math>\alpha</math> als Permutation <math>\pi\in S_3</math> auf der Menge der oben beschriebenen Vierecksklassen <math>V_1,V_2,V_3</math> operiert <math>\alpha(V_i)=V_{\pi(i)}, i\in \{1,2,3\}</math>, und dann durch <math>\overline{\alpha}(q_i)=q_{\pi(i)}</math> fortgesetzt wird. Außerdem ist jeder <math>4-(11,5,1)</math>-Blockplan isomorph zu <math>\mathrm{W}_{11}=\mathrm{W}_{12,x}</math>, der Ableitung des kleinen Wittschen Blockplanes an einem beliebigen Punkt x.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Corollary IV.2.6</ref>
Der kleine Witt-Blockplan <math>\mathrm{W}_{12}</math> enthält genau 12 Hadamard-<math>3-(12,3,2)</math>-Unterblockpläne.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Lemma IV.4.11</ref>
Jeder <math>5-(24,8,1)</math>-Blockplan ist zu dem oben konstruierten Blockplan <math>\mathrm{W}_{24}</math> isomorph.
Jeder <math>4-(23,7,1)</math>-Blockplan ist zur Ableitung <math>\mathrm{W}_{23}=\mathrm{W}_{24,x}</math>, der Ableitung des großen Wittschen Blockplanes an einem beliebigen Punkt x isomorph.<ref name="BJL" />
Jeder <math>3-(22,6,1)</math>-Blockplan ist zur Ableitung <math>\mathrm{W}_{22}=\mathrm{W}_{24,x,y}</math>, der zweifachen Ableitung des großen Wittschen Blockplanes an zwei beliebigen verschiedenen Punkten x,y isomorph.<ref name="BJL" />

Inzidenzparameter der Wittschen Blockpläne

Die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur, die einer Regularitätsbedingung genügen, sind diejenigen der Inzidenzparameter <math>b_i</math> (durchschnittliche Blockanzahl durch i beliebige Punkte) bzw. <math>v_j</math> (durchschnittliche Punktzahl auf j beliebigen Blöcken), die bei allen i-elementigen Punktmengen bzw. j-elementigen Blockmengen übereinstimmenden positiven Zahlen gleichen. Beim kleinen und großen Wittschen 5-Blockplan, die beide als Inzidenzstrukturen den Typ (5,1) haben, sind dies die Parameter <math>b_0,b_1,\ldots b_5=1</math> und <math>v_0,v_1</math>. Nach jeder Ableitung genügt ein Blockparameter weniger seiner Regularitätsbedingung:

Reguläre Inzidenzparameter

Blockplan	Typ als Inzidenzstruktur	b₅	b₄	b₃	b₂	b₁ (r)	b₀ (Gesamtblockzahl)	v₂	v₁ (k)	v₀ (Gesamtpunktzahl)
<math>\mathrm{W}_9\cong AG_1(2,3)</math>	(2,1)	-	-	-	1	4	12	-	3
<math>\mathrm{W}_{10}</math>	(3,1)	-	-	1	4	12	30	-	4	10
<math>\mathrm{W}_{11}</math>	(4,1)	-	1	4	12	30	66	-	5	11
<math>\mathrm{W}_{12}</math>	(5,1)	1	4	12	30	66	132	-	6	12
<math>\mathrm{W}_{21}\cong PG_1(2,4)</math>	(2,2)	-	-	-	1	5	21	1	5	21
<math>\mathrm{W}_{22}</math>	(3,1)	-	-	1	5	21	77	-	6	22
<math>\mathrm{W}_{23}</math>	(4,1)	-	1	5	21	77	253	-	7	23
<math>\mathrm{W}_{24}</math>	(5,1)	1	5	21	77	253	759	-	8	24

Außerdem lässt sich für Teilmengen <math>U\subseteq B\in\mathfrak{B}</math> eines Blockes B eine nur von der Punktzahl <math>u=|U|</math> abhängige Schnittzahl <math>n_u=n(B,U)=\left| \{Y\in\mathfrak{B}|B\cap Y= U \} \right| </math> angeben, falls <math>u\leq k</math> ist. Mit anderen Worten ist <math>n_u</math> die von B und U unabhängige Anzahl von Blöcken, die mit B genau alle Punkte von U gemeinsam haben. Die folgende Tabelle gibt diese Schnittzahlen an:<ref name="BJL" />

Schnittzahlen

t	k	v₀	n₈	n₇	n₆	n₅	n₄	n₃	n₂	n₁	n₀
2	3	9	-	-	-	-	-	1	0	3	2
3	4	10	-	-	-	-	1	0	3	2	3
4	5	11	-	-	-	1	0	3	2	3	0
5	6	12	-	-	1	0	3	2	3	0	1
2	5	21	-	-	-	1	0	0	0	4	0
3	6	22	-	-	1	0	0	0	4	0	16
4	7	23	-	1	0	0	0	4	0	16	0
5	8	24	1	0	0	0	4	0	16	0	30

Mit Hilfe dieser Schnittzahlen kann man die Eindeutigkeit der Wittschen Blockpläne (bis auf Isomorphie, als Blockpläne mit ihren jeweiligen Parametern) nachweisen.<ref name="BJL" />

Mathieu-Gruppen

Die 5 sporadischen Mathieu-Gruppen <math>\mathbb{M}_{11},\mathbb{M}_{12},\mathbb{M}_{22},\mathbb{M}_{23},\mathbb{M}_{24}</math> sind die vollen Automorphismengruppen der Wittschen Blockpläne, wobei der Subskript an der Kurzbezeichnung jeweils dem Subskript des zugehörigen Witt-Blockplanes, also dessen Punktzahl v entspricht. Alle fünf sind einfache Gruppen, d. h. sie haben keine außer den trivialen Normalteilern.<ref>Beth, Jungnickel, Lenz (1999), Theorem IV.5.12</ref> Rein gruppentheoretisch lässt sich der Subskript v der Mathieugruppen auch beschreiben als minimale ganze Zahl <math>v</math>, so dass <math>\mathbb{M}_{v}</math> als Permutationsgruppe auf <math>\{1,2,\ldots, v\}</math> operiert, mit anderen Worten, <math>S_v</math> ist die kleinste symmetrische Gruppe, so dass ein Gruppenmonomorphismus <math>\mathbb{M}_{v}\rightarrow S_v</math> existiert. Der Parameter <math>t</math> des Blockplanes, der angibt, für wie viele beliebige Punkte jeweils ein gemeinsamer Block existiert, gibt gruppentheoretisch den maximalen Transitivitätsgrad der zugehörigen Mathieugruppe an, das heißt, die Gruppe operiert als <math>t</math>-fach, aber nicht <math>t+1</math>-fach transitive Permutationsgruppe auf den Punkten des entsprechenden Blockplans und kann auf keiner Menge mehr als <math>t</math>-fach transitiv und treu operieren.

Mathieu-Gruppe	Gruppenordnung	Blockplan	Parameter <math>t-(v,k,\lambda)</math>	Steiner-Notation
<math>\mathbb{M}_{11}</math>	7920<math>=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 11</math>	<math>\mathrm{W}_{11}</math>	<math>4-(11,5,1)</math>	<math>S(4,5;11)</math>
<math>\mathbb{M}_{12}</math>	95040<math>=2^6 \cdot 3^3 \cdot 5\cdot 11</math>	<math>\mathrm{W}_{12}</math>	<math>5-(12,6,1)</math>	<math>S(5,6;12)</math>
<math>\mathbb{M}_{22}</math>	443520<math>=2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \cdot 11</math>	<math>\mathrm{W}_{22}</math>	<math>3-(22,6,1)</math>	<math>S(3,6;22)</math>
<math>\mathbb{M}_{23}</math>	10200960<math>=2^7 \cdot 3^2 \cdot 5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23</math>	<math>\mathrm{W}_{23}</math>	<math>4-(23,7,1)</math>	<math>S(4,7;23)</math>
<math>\mathbb{M}_{24}</math>	244823040<math>=2^{10}\cdot 3^3 \cdot 5\cdot 7 \cdot 11\cdot 23</math>	<math>\mathrm{W}_{24}</math>	<math>5-(24,8,1)</math>	<math>S(5,8;24)</math>

Literatur

Originalartikel

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Lehrbücher

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Weblinks

Pegg, Ed. Jr., {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Witt design. In: MathWorld (englisch). {{#if: WittDesign | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | WittDesign | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Mathieu Groups. In: MathWorld (englisch). {{#if: MathieuGroups | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | MathieuGroups | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Die sporadischen Gruppen (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen …) im Atlas of Finite Group Representations (englisch)

Einzelnachweise

en:Steiner system#The Steiner system S(5, 8, 24)