Ward-Takahashi-Identität

Die Ward-Takahashi-Identität, benannt nach dem britischen Physiker John Clive Ward und dem japanischen Physiker Yasushi Takahashi, ist eine Relation zwischen Korrelationsfunktionen in der Quantenelektrodynamik. Ihre allgemeine Form erhielten sie 1957 durch Takahashi<ref> Yasushi Takahashi, Nuovo Cimento, Ser 10, 6 (1957) 370.</ref>; der Spezialfall der Ward-Identität war bereits 1950 durch Ward aufgestellt worden.<ref>J.C. Ward, Phys. Rev. 78, (1950) 182</ref>

Der Fall nichtabelscher Eichtheorien ist verwickelter, hier hat man die Slawnow-Taylor-Identitäten.<ref>Andrei Slavnov: Slavonov Taylor Identities, Scholarpedia</ref>

Allgemein

Die Ward-Takahashi-Identität lässt sich aus den Dyson-Schwinger-Gleichungen herleiten und lautet:

<math>\begin{align}

k_\mu M^\mu \left(k; p_1, \dots, p_n; q_1, \dots, q_n\right) =&\ e \sum M_0\left(p_1, \dots, p_n; q_1, \dots, q_i - k, \dots, q_n \right) \\

&- e \sum M_0\left(p_1, \dots, p_i + k, \dots, p_n; q_1, \dots, q_n \right)
\end{align}</math>

Dabei ist

<math> M^\mu </math> die Fourier-Transformierte einer Korrelationsfunktion, die den Dirac-Strom enthält:

<math> M^\mu(k;p;q) = \int \mathrm d^4 z \prod_{i,j=1}^n \mathrm d^4 x_i \mathrm d^4 y_j e^{-\mathrm i (zk + \sum y_jp_j - x_iq_i)} \left\langle \Omega \left| T j^\mu(z) \prod \Psi(x_i) \bar\Psi(y_j) \right| \Omega \right\rangle </math>

<math> M_0 </math> die Korrelationsfunktionen, in denen der Impuls des Dirac-Stroms zum Impuls eines ein- bzw. ausgehenden Fermions addiert/subtrahiert wurde:

<math> M_0(p;q) = \int \prod_{i,j=1}^n \mathrm d^4 x_i \mathrm d^4 y_j e^{-\mathrm i (\sum y_jp_j - x_iq_i )}\left\langle \Omega \left| T \prod \Psi(x_i) \bar\Psi(y_j) \right| \Omega \right\rangle </math>

Ward-Identität

Aus der Ward-Takahashi-Identität lässt sich der Spezialfall der Ward-Identität ableiten, wenn

<math> M^\mu </math> ein Matrixelement der Streumatrix ist sowie
auf der rechten Seite alle ein- und auslaufenden Fermionen on shell sind, also real, beobachtbar und der Energie-Impuls-Relation gehorchend.

Dann heben sich die beiden Terme auf der rechten Seite der Identität unter Zuhilfenahme der LSZ-Reduktionsformel weg, und nur die linke Seite bleibt übrig:

Die Ward-Identität liefert einen wichtigen Beitrag zur Renormierung der Quantenelektrodynamik, da sie als symmetrieerhaltende Eigenschaft den Divergenzgrad von Photonenschleifen herabsetzt. Dies führt dazu, dass in der Quantenelektrodynamik kein Hierarchieproblem auftritt.

Einzelnachweise