Wannier-Darstellung
Die nach dem Schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind nicht orthonormiert. Aus den Bloch-Funktionen lässt sich jedoch eine Orthonormalbasis lokalisierter Zustände konstruieren:
- <math>\omega_{m n}(\vec r - \vec R_m) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k e^{-i \vec k \vec R_m} \cdot \psi_{n \vec k} (\vec r)</math>
Dabei ist
- <math>\psi_{n \vec k} (\vec r )</math> eine Bloch-Funktion
- <math> \omega_{m n} (\vec r - \vec R_m)</math> der zugehörige Wannier-Zustand
- <math>e</math> die Eulersche Zahl
- <math>i</math> die imaginäre Einheit
- <math>\vec k</math> der Wellenvektor
- <math>\vec r</math> der Ortsvektor
- <math>n</math> der Bandindex.
Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann
- <math>\psi_{n \vec k} (\vec r) = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec R_m} e^{i \vec k \vec R_m} \cdot \omega_{i n}(\vec r - \vec R_m)</math>
Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):
- <math> \omega_{i n}(\vec r -\vec R_m) = \sum_{n\in U} a_n \cdot \varphi_n (\vec r - \vec R_m)</math>
Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände <math>\varphi_n(\vec r - \vec R_m)</math> dar.
Literatur
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