Vollständig normaler Raum

Vollständig normale Räume werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie untersucht. Es handelt sich um normale Räume, deren sämtliche Teilräume wieder normal sind.

Definition

Ein topologischer Raum heißt vollständig normal, wenn jede Teilmenge mit der Teilraumtopologie normal ist.

Nach dieser Definition ist insbesondere der Raum selbst normal.

Ob vollständig normale Räume auch Hausdorffräume sein sollen, wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt. Manche Autoren nennen vollständig normale Räume T₅-Räume, wenn sie zusätzlich die T₁-Eigenschaft haben, sie sind dann automatisch Hausdorffräume.<ref name="Joshi" /><ref name="Walz" /> Es gibt auch Autoren, die diese Begriffe genau umgekehrt verwenden.<ref name="Singh" /> Die unten aufgeführten Beispiele sind durchweg Hausdorffräume.

Äquivalente Charakterisierungen

Für einen topologischen Raum <math>X</math> sind folgende Aussagen äquivalent:<ref name="Pears" />

• <math>X</math> ist vollständig normal
• Jede offene Teilmenge ist mit der Teilraumtopologie ein normaler Raum
• Je zwei separierte Mengen können durch offene Mengen getrennt werden.

Letztere Bedingung bedeutet genauer: Sind <math>A</math> und <math>B</math> Teilmengen von <math>X</math> mit <math>A\cap \overline{B} = \overline{A}\cap B = \emptyset</math>, so gibt es offene Mengen <math>U</math> und <math>V</math> in <math>X</math> mit <math>A\subseteq U</math>, <math>B\subseteq V</math> und <math>U\cap V = \emptyset</math>.

Beispiele

• Metrische Räume sind vollständig normal, denn jeder Teilraum ist mit der eingeschränkten Metrik wieder ein metrischer Raum und daher normal.
• Allgemeiner sind perfekt normale Räume vollständig normal.<ref name="Dugundji" />
• Der überabzählbare Fort-Raum ist ein vollständig normaler Raum, der nicht perfekt normal ist.<ref name="Steen1" />
• Die Tichonow-Planke ist ein normaler, sogar kompakter Raum, der nicht vollständig normal ist.<ref name="Steen2" />

Einzelnachweise

<references> <ref name="Joshi"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Walz"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Singh"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Pears"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Dugundji"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Steen1"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> <ref name="Steen2"> {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}} </ref> </references>