Verzerrtes Produkt
In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der Differentialgeometrie und der Allgemeinen Relativitätstheorie, bezeichnet das verzerrte Produkt zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten die Produktmannigfaltigkeit mit der verzerrten Produktmetrik.
Definition
Unter dem verzerrten Produkt <math>M\times_fN</math> zweier Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten <math>(M,g_M)</math> und <math>(N,g_N)</math> längs einer strikt positiven Funktion <math>f \colon M\to(0;\infty)</math> versteht man die Produktmannigfaltigkeit <math>M\times N</math> ausgestattet mit dem metrischen Tensor <math>g:=\pi^*(g_M)+(f\circ\pi)^2\sigma^*(g_N)</math>. Dabei bezeichnen <math>\pi \colon M\times N\to M</math> und <math>\sigma \colon M\times N\to N</math> die natürlichen Submersionen und <math>g^*</math> den Pullback eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird <math>M</math> als Basis und <math>N</math> als Faser der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.
Definition verzerrte Metrik
Unter einer verzerrten Produktmetrik versteht man eine Riemannsche oder Lorentzsche Mannigfaltigkeit, deren Metrik durch
- <math>ds^2 \, = g_{ab}(y) dy^a dy^b + f(y) g_{ij}(x) dx^i dx^j</math>
dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das kartesische Produkt einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.
Literatur
- Barrett O’Neill: Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity (Pure and applied mathematics; Bd. 103). Academic Press, New York 1983, ISBN 0-12-526740-1.