Verträglichkeit (Mathematik)

Vorlage:Hinweisbaustein In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen, die nicht verschieden sein müssen und die Strukturen der gleichen Art besitzen, dann mit deren Strukturen verträglich, wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet, dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten, wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten.

Ein wichtiger Sonderfall hierfür sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknüpfungen, die linksverträglich bzw. rechtsverträglich mit anderen Verknüpfungen sind.

Definition

Gegeben seien zwei nichtleere Mengen <math>A</math> und <math>B</math> sowie beliebige nichtleere Indexmengen <math>I, J, K</math> und <math>J_i</math> für jedes <math>i \in I,</math> die im Folgenden immer auch unendlich sein können.

Weiterhin seien <math>R \subseteq A^J</math> und <math>S \subseteq B^J</math> zwei Relationen<ref>Die Menge <math>A^J</math> aller Familien in <math>A</math> mit Indexmenge <math>J</math> wird, falls <math>J</math> endlich ist und genau <math>n</math> Elemente enthält, ebenso mit <math>A^n = \{(a_0,\ldots,a_{n-1}) \mid a_0,\ldots,a_{n-1} \in A\}</math> oder für <math>\underline n := \{1, \ldots, n\}</math> mit <math>A^{\underline n}</math> identifiziert, wobei man zwischen <math>A^n</math> und <math>A^{\underline n}</math> in der Regel nicht unterscheidet.</ref> mit gleichen Eigenschaften sowie <math>(F_i)_{i\in I}</math> und <math>(G_i)_{i\in I}</math> zwei Familien von Relationen <math>F_i \subseteq A^{J_i}</math> und <math>G_i \subseteq B^{J_i},</math> die für jeden Index <math>i \in I</math> jeweils gleiche Eigenschaften haben, sodass <math>(A, (F_i)_{i\in I})</math> und <math>(B, (G_i)_{i\in I})</math> zwei Strukturen der gleichen Art sind.

Eine Relation <math>\varrho \subseteq A\times B</math> heißt dann verträglich mit den Relationen <math>R</math> und <math>S,</math> wenn für alle <math>(a_j, b_j) \in \varrho,\; j \in J,</math> gilt:

<math>(a_j)_{j\in J} \in R \implies (b_j)_{j\in J} \in S.</math>

Demnach ist insbesondere eine Abbildung <math>\varphi\colon\, A \to B,\, a \mapsto \varphi(a),</math> verträglich mit den Relationen <math>R</math> und <math>S,</math> wenn gilt:

<math>\alpha \in R \implies \varphi\circ\alpha \in S.</math>

<math>\varphi</math> ist verträglich mit den Strukturen <math>(A, (F_i)_{i\in I})</math> und <math>(B, (G_i)_{i\in I}),</math><ref>Eine Struktur <math>((A_k)_{k\in K}, (R_i)_{i\in I})</math> mit einem Tupel bzw. einer Familie von mehreren Trägermengen <math>A_k</math> und mit Relationen <math>R_i</math> in (auch verschiedenen) kartesischen Produkten dieser Trägermengen lässt sich als eine Struktur mit der Trägermenge <math>A := \bigcup(A_k)_{k\in K}</math> auffassen, da stets jede Relation <math>R_i</math> auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von <math>A</math> ist.</ref> wenn für jeden Index <math>i \in I</math> die Abbildung <math>\varphi</math> verträglich ist mit <math>F_i</math> und <math>G_i.</math> Man nennt dann <math>\varphi</math> auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus dieser Strukturart.

Nun sei <math>\chi\colon\, A^K \to A</math> eine innere Verknüpfung auf <math>A</math> (<math>K</math> darf auch unendlich sein) und <math>R \subseteq A^J,</math> sodass auf <math>A^K</math> komponentenweise die Relation <math>S := \bigl\{\alpha \bigr|\, \hat\alpha(k) \in R\,\text{ für alle }\,k \in K\,\bigl\} \subseteq \bigl(A^K\bigr)\bigr.^J</math> auf <math>A</math> gegeben ist. <math>\chi</math> heißt dann verträglich mit <math>R,</math> wenn <math>\chi</math> verträglich ist mit <math>S</math> und <math>R.</math>

Hierbei (und auch im Folgenden, für beliebige <math>A,K,J,\alpha</math>) sei für <math>\alpha\in \bigl(A^K\bigr)^J</math> das <math>\hat\alpha\in\bigl(A^J\bigr)^K</math> definiert per <math>\hat\alpha(k)(j) := \alpha(j)(k)</math>.

Eigenschaften

Sind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften <math>R_A \subseteq A^I\!\times A</math> und <math>R_B \subseteq B^I\!\times B</math> Abbildungen (d. h. linkstotal und rechtseindeutig) <math>f_A\colon\, A^I \to A,</math> und <math>f_B\colon\, B^I \to B,</math> so ist eine Abbildung <math>\varphi\colon\, A \to B</math> genau dann verträglich mit den Abbildungen <math>f_A</math> und <math>f_B,</math> wenn

<math>\varphi\left(f_A(\alpha)\right) = f_B\left(\varphi\circ\alpha\right)</math> für alle <math>\alpha \in A^I.</math>

Zwei nullstellige Abbildungen <math>f_A\colon\, A^0 \to A,\, () \mapsto f_A(),</math> und <math>f_B\colon\, B^0 \to B,\, () \mapsto f_B(),</math> können stets als die einelementigen einstelligen Relationen <math>R_A = \{f_A()\} \subseteq A</math> und <math>R_B = \{f_B()\} \subseteq B</math> aufgefasst werden. Eine Abbildung <math>\varphi\colon\, A \to B</math> ist daher genau dann verträglich mit den Abbildungen <math>f_A</math> und <math>f_B,</math> wenn <math>\varphi</math> die Konstanten <math>f_A()</math> und <math>f_B()</math> aufeinander abbildet:

<math>\varphi(f_A()) = f_B().</math>

<math>\chi\colon\, A^K \to A</math> ist genau dann verträglich mit einer Abbildung <math>f_A\colon\, A^I \to A,</math> wenn gilt:

<math>\chi\left(f_A\circ \hat\alpha\right) = f_A\left(\chi\circ\alpha\right)</math> für alle <math>\alpha \in \bigl(A^K\bigr)^I.</math>

Distributivität

Sei nun zusätzlich eine nichtleere Menge <math>C</math> gegeben. Man nennt dann eine zweistellige Verknüpfung <math>\star\colon\, C \times A \to B,\, (c, a) \mapsto c \star a,</math> linksverträglich mit <math>R_A</math> und <math>R_B,</math> wenn für jedes <math>c \in C</math> die Linkstransformation

<math>\tau_{c\star}\colon\, A \to B,\, a \mapsto \tau_{c\star}(a) := c \star a,</math>

nach obiger Definition mit <math>R_A</math> und <math>R_B</math> verträglich ist. Ebenso nennt man eine zweistellige Verknüpfung <math>*\colon\, A \times C \to B,\, (a, c) \mapsto a * c,</math> rechtsverträglich mit <math>R_A</math> und <math>R_B,</math> wenn für jedes <math>c \in C</math> die Rechtstransformation

<math>\tau_{*c}\colon\, A \to B,\, a \mapsto \tau_{*c}(a) := a * c,</math>

mit <math>R_A</math> und <math>R_B</math> verträglich ist.

Falls <math>\star</math> linksverträglich ist sowie <math>*</math> rechtsverträglich ist mit Abbildungen <math>f_A\colon\, A^I \to A</math> und <math>f_B\colon\, B^I \to B,</math> dann sagt man auch, dass <math>\star</math> linksdistributiv ist bzw. <math>*</math> rechtsdistributiv ist über <math>f_A</math> und <math>f_B\colon</math>

Eine innere zweistellige Verknüpfung <math>\cdot\colon\, A \times A \to A</math> auf <math>A</math> heißt distributiv über <math>f_A,</math> wenn <math>\cdot</math> links- und rechtsdistributiv über <math>f_A</math> ist.

Beispiele

Die mit geordneten Strukturen <math>(A,\leq)</math> und <math>(B,\sqsubseteq)</math> verträglichen Abbildungen <math>\varphi\colon\, A \to B</math> heißen isoton oder auch monoton (steigend):

<math>a_1 \leq a_2 \implies \varphi(a_1) \sqsubseteq \varphi(a_2)</math> für alle <math>a_1,a_2 \in A.</math>

Eine Kongruenzrelation ist eine auf einer algebraischen Struktur <math>\left(A,(f_i)\right)</math> derart erklärte Äquivalenzrelation <math>{\sim} \subseteq A^2,</math> dass alle inneren Verknüpfungen <math>f_i</math> verträglich sind mit <math>{\sim}.</math>

Die mit algebraischen Strukturen verträglichen Abbildungen sind (algebraische) Homomorphismen.

Vollständige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollständigen Verbänden sind Beispiele für unendlichstellige Homomorphismen.

Die Topologie <math>\mathcal O</math> eines topologischen Raums <math>(X,\mathcal O)</math> ist eindeutig durch das Hüllensystem <math>\mathcal A</math> aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist <math>\mathcal A</math> durch das Kernsystem <math>\mathcal O</math> eindeutig bestimmt, denn jede offene Menge <math>O \in \mathcal O</math> ist das (absolute) Komplement einer abgeschlossenen Menge <math>A \in \mathcal A</math> und umgekehrt. Jede abgeschlossene Menge <math>A \in \mathcal A</math> lässt sich wiederum dadurch charakterisieren, dass jeder Punkt <math>a \in X</math> genau dann in <math>A</math> liegt, wenn gegen ihn ein Netz <math>(a_i)_{i\in I}</math> konvergiert mit <math>a_i \in A</math> für alle <math>i \in I.</math> Die Topologie <math>\mathcal O</math> und das Konvergenzverhalten aller Netze in <math>X</math> sind also äquivalent.

Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Räume <math>(X,\mathcal O)</math> und <math>(Y,\mathcal P)</math> ist daher eine Abbildung <math>\varphi\colon\, X \to Y</math> genau dann verträglich oder stetig, falls sie für jeden Punkt <math>x \in X</math> mit allen gegen <math>x</math> konvergenten Netzen verträglich ist:

<math>(x_i)_{i\in I} \longrightarrow_X x \implies \left(\varphi(x_i)\right)_{i\in I} \longrightarrow_Y \varphi(x)</math> für alle Netze <math>(x_i)_{i\in I}</math> mit <math>x_i \in X</math> für alle <math>i \in I.</math>

Mit Kategorien verträgliche Abbildungen nennt man Funktoren.

Die Distributivität spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle.

Literatur

Garrett Birkhoff: Lattice Theory. 3rd Edition. AMS, Providence, RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin – Heidelberg 1967.
Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer, Berlin – Heidelberg 1984, ISBN 3-540-13427-1.
Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearb. und erw. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2001, ISBN 3-540-67790-9.
F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. 11. Auflage. Band 1: Grundlagen, Algebra und Geometrie. Deutscher Taschenbuchverlag, München 1998, ISBN 3-423-03007-0.
Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.

Anmerkungen