Vermutungen von Paul Erdős

Der Mathematiker Paul Erdős hat in seinen Arbeiten viele Vermutungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik aufgestellt.

Vermutungen zur Zahlentheorie

• Erdős-Moser-Vermutung: Sie besagt, dass die Gleichung

<math>1^n+2^n+\ldots+(m-1)^n=m^n</math>

nur die Lösungen <math>(n,m)=(0,2)</math> und <math>(1,3)</math> hat.

• Erdős-Straus-Vermutung: Sie besagt, dass die Gleichung

<math>\frac4n=\frac1a+\frac1b+\frac1c</math>

für jede natürliche Zahl <math>n>1</math> eine Lösung in natürlichen Zahlen <math>a,b,c</math> hat.

• <math>\{n\in\mathbb{N}|\forall\; k\in\mathbb{N}:\;\; 2^k<n \Rightarrow n-2^k\in\mathbb{P}\}

=\{4,7,15,21,45,75,105\}</math>

Betrachten wir die Menge S aller natürlichen Zahlen n mit folgender Eigenschaft:

Für jede natürliche Zahl k mit k>0 und 2^k < n ist n - 2^k eine Primzahl.

Dann enthält S sicherlich die Zahlen <math>4,7,15,21,45,75,105</math>.

Zum Beispiel ist 45 in S, weil die Zahlen <math>45-2=43</math>, <math>45-4=41</math>, <math>45-8=37</math>, <math>45-16=29</math>, <math>45-32=13</math> alles Primzahlen sind.

Die Vermutung besagt nun, dass S nur aus diesen 7 Zahlen besteht.

Bis <math>n = 2^{77}</math> ist diese Vermutung nachgerechnet worden, d. h., es gibt sicherlich keine Zahlen in S außer den genannten, die kleiner als 2⁷⁷ sind.

Jede Zahl n in S (außer 4) liefert automatisch einen Primzahlzwilling, nämlich <math>(n-2, n-4)</math>.

Siehe auch: Folge A039669 in OEIS

• Erdős-Divergenz-Vermutung: Sie besagt, dass es für jede unendliche Folge der Zahlen +1 und −1 äquidistante Samples endlicher Länge gibt, die sich zu einer betragsmäßig beliebig großen Summe addieren. Terence Tao hat 2015 einen Beweis vorgelegt.<ref>Chris Cesare: Maths whizz solves a master’s riddle. Nature News, 25. September 2015.</ref> Der Beweis ist in einem peer reviewed Journal publiziert:<ref>Terence Taos Beweis der Divergenzvermutung in der Fachzeitschrift Discrete Analysis, mit Link zu einem Video von einem Vortrag darüber</ref>
• Erdős-Woods-Vermutung: Gegeben sei eine beliebige ganze Zahl <math>n</math>. Dann gibt es eine positive ganze Zahl <math>k</math>, so dass <math>n</math> durch die Liste der Primfaktoren von <math>n, n+1, \dotsc , n+k</math> eindeutig bestimmt wird.

• Seien <math>A={a_{i}}</math> und <math>B={b_{j}}</math> komplementäre n-elementige Teilmengen von <math>{1,..., 2n} </math>. Sei <math>M_k</math> die Menge der Lösungen <math>a_i-b_j = k</math> mit <math>-2n \leq k \leq 2n</math>. Man schätze <math>M(n)=\min_{A,B} \max_{k} M_{k}</math> für hinreichend große <math>n</math> ab.

• Sei <math>H</math> ein ungerichter Graph und <math>\mathcal{F}_{H}</math> die Familie von Graphen, die <math>H</math> nicht als induzierten Teilgraphen enthalten. Dann gibt es ein <math>\delta_{H}>0</math>, so dass alle n-Graphen in <math>\mathcal{F}_{H}</math> eine Clique oder eine stabile Menge der Größe <math>\Omega(n^{\delta_H})</math> enthalten.
• Erdős-Vermutung über arithmetische Folgen: Jede Menge <math>A</math> mit <math> \sum_{n\in A} \frac{1}{n} \ =\ \infty </math> enthält eine arithmetische Folge beliebiger Länge.

Vermutungen zur Graphentheorie

• Erdős-Faber-Lovász-Vermutung: Ein Graph, der eine Vereinigung vollständiger Graphen mit <math>k</math> Knoten ist, die paarweise höchstens einen Knoten gemeinsam haben, ist <math>k</math>-chromatisch.
• Erdős-Gyárfás-Vermutung: Jeder Graph, dessen Knoten alle mindestens Grad 3 haben, enthält einen Kreis, dessen Länge eine Zweierpotenz ist.

Vermutungen zur Ramsey-Theorie

Viele Vermutungen, welche von Erdős stammen oder an denen Erdős beteiligt war, betreffen das Gebiet der Ramsey-Theorie und insbesondere die Ramsey-Zahlen. Als herausragende Beispiele sind die Vermutung von Bondy und Erdős und die Erdős-Sós-Vermutung zu nennen.

Weblinks

• F. R. K. Chung: Open problems of Paul Erdos in graph theory (PDF; 323 kB)

Einzelnachweise

<references />