Verallgemeinerte Konvexität

Die verallgemeinerte Konvexität () ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Konvexitätsbegriff für Funktionen und Mengen, die sich insbesondere bei der Behandlung nicht-konvexer Optimierungsprobleme als nützlich erweist.

Φ-Konvexität

Gegeben sei eine Menge <math>X \neq \emptyset </math> und die Menge aller Abbildungen von <math>X</math> nach <math>\R</math>

<math>F(X) = \{ \varphi \mid \varphi\colon X \to \R \}</math>

Eine Menge <math>\Phi \subseteq F(X)</math> heißt Referenzsystem für <math>X</math> genau dann, wenn gilt:

1. <math>\forall \varphi \in \Phi, \lambda \ge 0 : \lambda \varphi \in \Phi </math>
2. <math>\forall \varphi \in \Phi, c \in \R : \varphi + c \in \Phi </math>

Φ-konvexe Funktion

Eine (erweiterte) reellwertige Funktion <math>f\colon X \mapsto \overline{\R}</math> heißt <math>\Phi</math>-konvex genau dann, wenn eine Menge <math>\Phi_0 \subset \Phi </math> existiert, so dass

<math>f(x)=\sup_{\varphi \in \Phi_0} \varphi(x)</math>

gilt.

Φ-konvexe Menge

Eine Menge <math>A \subseteq X</math> heißt <math>\Phi</math>-konvex genau dann, wenn es eine Menge <math>\Phi_0 \subseteq \Phi</math> gibt und zu jedem <math>\varphi \in \Phi_0</math> ein <math>a_\varphi</math> existiert, so dass

<math> A = \bigcap_{\varphi \in \Phi_0} \{ x \in X : \varphi(x) \leq a_{\phi} \}</math>

Beispiele

• Nimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen, also <math>\Phi = \{ \varphi \,|\, \varphi(x) = \langle v,x \rangle + c, v \in \R^n, c \in \R\} </math>, dann stimmt die <math>\Phi</math>-Konvexität mit der gewöhnlichen Konvexität überein.

• Die Lipschitz-stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak-Funktionen <math>\Phi = \{ \varphi \,|\, \varphi(x) = -k \cdot d(x,x_0) + c, x_0 \in X, c \in \R\} </math> <math>\Phi</math>-konvex.

Siehe auch

• Konvexe Funktion
• Konvexe Menge
• Konvexe Optimierung

Literatur

• Szymon Dolecki, Stanisl Aw Kurcyusz: On <math>\Phi</math>-Convexity in Extremal Problems. In: SIAM Journal on Control and Optimization. Band 16, Nr. 2, 1978, S. 277–300, doi:10.1137/0316018 (aip.org). 
• Diethard Pallaschke, Rolewicz, S.: Foundations of Mathematical Optimization: Convex Analysis Without Linearity. Kluwer Academic Publishers, 1997, ISBN 0-7923-4424-3.